数学理科（一）参考答案 (1).pdf

南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 1 页（共 9 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数 学 试 卷（理工类） 2019.03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页． 祝各位考生考试顺利！ 第 Ⅰ 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 参考公式： ·锥体的体积公式 V 圆柱=Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合 A={x|–2≤x≤2}，B={x|y= 1 1 x }，那么 A∩B=（ ）． （A）{x|–2≤x＜1} （B）{x|–2≤x≤1} （C）{x|x＜–2} （D）{x|x≤2} （2）设变量 x，y 满足约束条件 20 2 2 0 0 3      ≥ ， ≥ ， ≤ ， ≤ ， xy xy x y 则目标函数 z=x–y 的最大值为（ ）． （A）1 （B）–1 （C） 3 2 （D）–3 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的 i=（ ）． （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 2 页（共 9 页） （4）设 a，b∈R，则“a＜b”是“(a–b)a2＜0”的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）函数 y=2sin( π 3 –2x)（x∈[0，]）为增函数的区间是（ ）． （A）[0， 5 12  ] （B）[0， 2  ] （C）[ ，11 12  ] （D）[ ，] （6）函数 f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f(–3)=0，则不等式 xf(x)＜0 的解 集为（ ）． （A）(–3，0)∪(3，+∞) （B）(–∞，–3)∪(0，3) （C）(–∞，–3)∪(3，+∞) （D）(–3，0)∪(0，3) （7）过双曲线 12 2 2 2  b y a x （a＞0，b＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA（O 为坐标原点），则双曲线的离 心率为（ ）． （A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5 （8）如图，在△ABC 中，∠BAC= π 3 ， AD =2 DB ，P 为 CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1 2 AB ，若△ABC 的面积为 2 3 ，则| |的最小值为（ ）． （A） 2 （B） （C）3 （D） 4 3 A C B P D 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 3 页（共 9 页） 第 Ⅱ 卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请 将答案填在题中横线上。 （9）已知复数 z=1 3i 3i   ，则 z 的实部为 ． （10）二项式( x – 3 1 x )5 的展开式中常数项为 ． （11）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分 别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积 是为 ． （12）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 222 4    ， ， xt yt （t 为参数）．点 M( 2 ，0)，P 为 C 上一点，若|PM|=4 ，则△POM 的面积为 ． （13）已知 x，y 均为正实数，且 2 xy xy = 7 62  ，则 x+3y 的最小值为 ． （14）设函数 f(x)= 2 5 6 0 4 4 0     ， ≥ ， ， . x x x x x < 若函数 g(x)=x+a–f(x)有三个零点，则这三个 零点之和的取值范围是 ． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 4 页（共 9 页） 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，B=2C，sinC= 7 4 ． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）设 bc=24，求边 a 的长． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 5 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （16）（本小题满分 13 分） 现有长分别为 1m、2m、3m 的钢管各 3 根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的 编号）， 从中随机抽取 n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9）， 再将抽取 的钢管相接焊成笔直的一根． （Ⅰ）当 n=3 时，记事件 A={抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等}，求 P(A)； （Ⅱ）当 n=2 时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学 期望 E． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 6 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 SABC 中，SA⊥底面 ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E 分别是 AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且 SF=2FE． （Ⅰ）求证：AF⊥平面 SBC； （Ⅱ）求直线 SA 与平面 SBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 DE 上是否存在点 G，使二面角 GAFE 的 大小为 30°？若存在，求出 DG 的长；若不存在，请说明 理由． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 7 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 13 分） 已知数列{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a5=3a2，S7=14a2+7． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{(–1)nbn(an+bn)}的前 n 项和 Tn． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 8 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0）的离心率为 3 6 ，两焦点与短轴的一个端点的连 线构成的三角形面积为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设与圆 O：x2+y2= 3 4 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点）， 求|OA|cos∠OAB+ tan 3 2 OBA 的最大值． 南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 9 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=lnx–ax+a，g(x)= 1 e  x x ． （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； （Ⅱ）若 f(x)≤0 恒成立，证明：当 0＜x1＜x2 时， 12 12   ( ) ( )f x f x xx ＜ 1 1 x –1． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：f(x)(g(x)–1)＞g(x)– 2 1 e ．