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益阳市箴言中学高二数学第二次模拟考试试题卷
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.若复数 z 满足(3-4i)z=5,则 z 的虚部为( )
A. i4 B.
5
4 C. i5
4 D. 4
2.下列推理是归纳推理的是
A. 已知 为定点，动点 满足 ||2|||| ABaPBPA ，得动点 的轨迹为椭圆
B. 由 13,11 naa n 求出 321 sss ，， ，猜想出数列{an}的前 项和 ns 的表达式
C. 由圆 222 ryx 的面积为 2r ，猜想出椭圆 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的面积为 ab
D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
3、设 X ～ ),( 2
11 uN ，Y ～ ),( 2
22 uN ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列
结论中正确的是
A． 2 1( ) ( )P Y P Y
B． 2 1( ) ( )P X P X
C．对任意正数t ， ( ) ( )P X t P Y t
D．对任意正数t ， ( ) ( )P X t P Y t
4、观察下列各式: , , ,…,则
等于( )
A. B. C. D.
5、将函数 )32cos()( xxf 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不
变，得到函数 )(xgy 的图象，则下列判断错误的是
第 3 题图第 2 页 共 6 页
A. 曲线 )(xgy 关于直线
3
x 对称 B. 曲线 )(xgy 关于点 )0,6( 对称
C. 函数 )(xgy 在 )3,0( 上单调递增 D. 函数 )(xgy 在 )3
5,6
5( 上单调递减
6.三角形面积为S= (a+b+c)r,(其中a,b,c为三角形三边长,r为三角形内切圆半径)
利用类比推理,可以得出四面体的体积为 ( )
A. V= abc B. V= Sh
C. V= (ab+bc+ac)·h(h 为四面体的高) D. V= (S1+S2+S3+S4)·r
(其中 S1,S2,S3,S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球的半径,球心 O 到四
个面的距离都是 r)
7.用数学归纳法证明 时，由 k 到 k+1，不等式左边的变化是
（ ）
A. 增加 项
B. 增加 和 两项
C. 增加 和 两项同时减少 项
D. 以上结论都不对
8、已知随机变量 i 满足 ）（）（）（ 2,110,1 ipppp iiii ，若 1 2
10 2p p ，
则有（ ）
A． 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( )E E D D B． 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( )E E D D
C． 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( )E E D D D． 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( )E E D D
9、已知定义在 R 上的偶函数 )(xf 在 ，0 是单调递增的，若不等式
)5()4( xfaxf 对任意 ]2,1[x 恒成立，则实数 a 的取值范围为
A. B. C. D.第 3 页 共 6 页
10、高三的 8 名同学准备拼车去参加比赛，其中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班
每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑
位置)，其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学
中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有
A． 18 种 B． 24 种 C． 48 种 D． 36 种
11、已知函数
0
0
xx
xe
x
xf x)( ，又函数 )()()()( Rtxftxfxg 12 有 4 个
不同的零点，则实数 t 的取值范围是
A.(- ∞，-
e
e 12 ） B.（
e
e 12 ，+ ∞）
C. （-
e
e 12 ，- 2） D. （2，
e
e 12 ）
12、若存在实数 ],[ 2eex 使得不等式 axx
x
4
1
ln
成立，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A
,22
1
2
1
e B
,24
1
2
1
e C
,22
1
2
1
e D
,24
1
2
1
e
二、填空题 （每小题 5 分，共 20 分）
13、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4
15
，刮四级以上风的概率为 2
15
，既
刮四级以上风又下雨的概率为 1
10
，设事件 A 为下雨，事件 B 为刮四级以上的风，
那么 |( )P B A ________________．
”号连接）注意：请用“
的大小关系为、、则、若
(
.,,, 321
2
13
2
12
2
1
2
1
114 sssdxesdxxsdxxs x
15、已知多项式 3 2( 1) ( 2)x x = 5 4 3 2
1 2 3 4 5x a x a x a x a x a ，则 4a = .
16、若一直线与曲线 xey ln 和曲线 2xmy 相切于同一点 P，则实数 .m第 4 页 共 6 页
三、解答题 （共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
设 a,b∈(0,1)且 a+b=1,用反证法证明: 11
2
a
与 11
2
b
中至少有一个不小于 3.
18、（本小题满分 12 分）
平面直角坐标系 xOy 中，曲线 过点 ，其参数方程为
ty
tx
2
21
2
21
(t 为参
数)，以原点 O 为极点，X 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 极坐标方程为
042 coscos ．
求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；
已知曲线 1C 和曲线 2C 交于 A，B 两点，求
|||| PBPA
11 的值．
19、（本小题满分 12 分）
已知二项式 n
x
x )( 2 的展开式中，第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系
数之比为 8：3.
（Ⅰ）求 n 的值及展开式中 4x 的系数 4a 与 3x 项的系数 3a 的差 .34 aa
（Ⅱ）求 0 1 2 3 10
10 10 10 10 102 4 8 ... 1024C C C C C 的值.第 5 页 共 6 页
20、（本小题满分 12 分）
某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出 100 人的
成绩作为样本．现对高一年级的 100 名学生的成绩进行统计，得到成绩的频率
分布直方图如下图．已知规定 60 分以上(包括 60 分)为合格．
（1）计算高一年级这次知识竞赛的合格率；
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校大量高一学生中，采用随
机抽样方法每次抽取 1 名学生，抽取 3 次，记被抽取的 3 名学生中的合格人数
为 X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列和期望、方差．
21、（本小题满分 12 分）
某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API(Air Pollution
Index)的监测数据,结果统计如下:
API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 大于 300
空气质量[来源:学+
科+网 Z+X+X+K]
优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S (单位:元),空气质量指数 API 为
x,在区间[0,100]内对企业不造成经济损失;在区间(100,300]内对企业造成的
经济损失成直线模型(当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元,当 API 为 200
时,造成的经济损失为 700 元);当 API 大于 300 时造成的经济损失恒为 1000 元.
(1)试写出 S 关于 x 的表达式;
(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天的经济损失 S 大于 500 元且不超过 900
元的概率;第 6 页 共 6 页
(3)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下
面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年的空气重度污染与供暖有关.
(公式：
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK
）
22、（本小题满分 12 分）
已知函数 xxxxf ln)( 2 ．
（1）求函数 )(xf 的极值；
（2）若 21, xx 是方程 xxxfax 2)( 的两个不同的实数根，
求证： 0ln2lnln 21 axx ．
非重度污染 重度污染 总计[来源:Zxxk.Com]
供暖季
非供暖季
总计
P(K 2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010
k0 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635
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