理科数学答案第1页（共 7 页）
绵阳市高中 2016 级第三次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
BCDAA CDBCB CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．1 14．
6
15．24
16． 3
32
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17．解：（1）由余弦定理 cosC=
2 2 2
2
a b c
ab
+−，且 2acosC=2b-c，
得 2a =2b-c，
即 b2+c2-a2=bc． ……………………………………………………………3 分
∴ cosA=
2 2 2
2
b c a
bc
+−= 1
2
． ……………………………………………………5 分
∵ A∈(0，π)，
∴ A=
3
． ………………………………………………………………………6 分
（2）在△ABD 中，AB=3，BD= 13 ，cosA= ．
由余弦定理得 13=9+AD2-3AD，
解得 AD=4(负值舍去) . ………………………………………………………9 分
∵BD 为 AC 边上的中线，
∴D 为 AC 的中点，
∴ AC=2AD=8．
所以 S△ABC= AB ACsinA= 133822 = 63． ………………………12 分
18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于 40”的事件为 A，
则
3
25
3
50
23() 196
CPA C==. …………………………………………………………4 分
18届涨100分学生达20人
罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生
中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径
优径皆在为学溪
为学溪家长高考群235649790
为学溪高考学生群614146320
成都西城角巷18号华润峰锦 2303（九宁校区）
成都百草路 186号英伦二期四幢3单元205（成外校区）
18年高考为学溪考出四清二北
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（2）设乙公司货车司机中转货车数为 t，则 6 40
7 40 40.
ttX tt
= −
， ，
，
则 X 的所有取值分别为 228，234，240，247，254.
其分布列为
日工资
概率
228 234 240 247 254
P 1
10
1
5
1
5
2
5
1
10
于是 1 1 1 2 1( ) 228 234 240 247 254 241.810 5 5 5 10EX = + + + + = . ………8 分
设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 u，则 4 80Yu=+，
则 Y 的所有可能取值为 232，236，240，244，248.
则分布列为
日工资
概率
232 236 240 244 248
P 1
5
3
10
1
5
1
5
1
10
于是 1 3 1 1 1( ) 232 236 240 244 248 238.85 10 5 5 10EY = + + + + = .…………11 分
由 ( ) ( )E X E Y 知，
若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12 分
19．解：（1）证明：过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O，连接 AO，BO．
由∠PAD=120º，可得∠PAO=60º．
∴ 在 Rt△PAO 中，PO=PAsin∠PAO=2 sin60º= 32 2 = 3 . ……………2 分
∵ ∠BAD=120º，
∴ ∠BAO=60º．
又 PA=AB，∠PAO=∠BAO=60º，AO=AO，
∴ △PAO≌△BAO(SAS)，
∴ BO=PO= ．……………………………4 分
∵ E，F 分别是 PA，BD 的中点， 6
2EF = ，
P
E
D
C
A
B
F
z
x
y O
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∴ EF 是△PBD 的中位线，
∴ PB=2EF= 62 2 = 6 ．
可得 2 2 2PB PO BO=+，
所以 PO⊥BO． …………………………………………………………………5 分
∵ AD∩BO=O，
∴ PO⊥平面 ABCD．
又 PO 平面 PAD，
∴ 平面 PAD⊥平面 ABCD． …………………………………………………6 分
（2）建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz.
A(0，1，0)，P(0，0， 3 )，B( ，0，0)，D(0，3，0)，
∴ E(0， 3
2
， 3
2 )，F( ， 3
2
，0) ． ……………………………………7 分
平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0，0，1) ． ………………………………8 分
设平面 ACE 的法向量为 n2=(x，y，z) ．
又 AE =(0， 1
2
， )， AF =( ， ，0)，
由 2
2
0
0
AE
AF
=
=
，
，
n
n
得
13022
31022
yz
xy
+=
+=
，
，
令 x=1，得 y=- 3 ，z=1.
∴平面 ACE 的一个法向量为 n2=(1，- ，1) ． …………………………10 分
设锐二面角 E-AC-D 的平面角大小为 θ，
则 cosθ=|cos＜n1，n2＞|=| 12
12
nn
nn
|= 5
5
，
∴锐二面角 E-AC-D 的余弦值为 ． ……………………………………12 分
20．解：（1）∵ 焦距为 25， PB BA= ，
∴ 522 =c ，且点 B 为线段 AP 的中点．
∵ 点 P(0， 23)，A(a，0)，
∴ PA=2PB， ( 3)2
aB ， ．
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∴ 由题意得 5c = ，且
2
22
3 14
a
ab+=．① ……………………………………2 分
又 2 2 2a b c=+，即 225ab=+．②
联立①②解得 2249ba==， ．
∴ 椭圆 E 的方程为
22
194
xy+=． ……………………………………………4 分
（2）由题意，得 PBMPAN SS = 6 ， ……………………………………………5 分
即 11sin 6 sin22PA PN APN PB PM BPM = ，
∴ 3PN PM= ，即 3PN PM= ．
设 11()M x y， ， 12()N x y， ，
则 PM =(x1，y1- 23)， PN =(x2，y2- )，
∴ (x2，y2- )=3(x1，y1- )，
∴ x2=3x1，即 2
1
3x
x = ．
于是 2
2
1
1
10= 3
x x
xx+ ，即 2
2
2
1
1
()16= 3
xx
xx
+ ．①………………………………………6 分
联立 22
23
194
y kx
xy
=+ +=
，
，
消去 y，整理得 072336)49( 22 =+++ kxxk ． ………8 分
由 22=(36 3 ) 4 (9 4) 72 0kk − + ，
解得 2 8
9k ．
∴ 49
336
221 +−=+ k
kxx ， 12 2
72
94xx k= +
． ……………………………………9 分
代入①，可解得 2 32
9k = ，满足 ，
∴ 42
3k = . ……………………………………………………………11 分
即直线 l 的斜率 ． ……………………………………………12 分
21．解：（1） ( ) lnf x x a x =− ，
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要使 ()fx有两个不同的极值点转化为 ( )=0fx 有两不等根．
令 ( ) lng x x a x=− ，则 ( ) 1 ( 0)a x ag x xxx
− = − = ．
① 当 a≤0 时，得 ()gx >0，则 g(x)在 (0 )+， 上单调递增，
所以 g(x)在 (0 )+， 上不可能有两个零点． …………………………………3 分
②当 a>0 时，由 >0，解得 x>a；由
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