第十九讲 解直角三角形
宜宾中考考情与预测
宜宾考题感知与试做
1.（2017·宜宾中考）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得α＝30°，β＝45°，量得BC长为100 m.求河的宽度.（结果保留根号）
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC.
设AD＝DC＝x m，则tan 30°＝＝，
∴x＝50（＋1）.
答：河的宽度为50（＋1） m.
2.（2018·宜宾中考）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10 m，立柱AB高30 m.求立柱CD的高.（结果保留根号）
解：过点C作CH⊥AB于点H，则四边形HBDC为矩形，
∴BD＝CH.
由题意，得∠ACH＝30°，
∠CED＝30°.
设CD＝x m，则AH＝（30－x）m.
在Rt△AHC中，HC＝＝（30－x），
则BD＝CH＝（30－x），
∴ED＝（30－x）－10.
在Rt△CDE中，＝tan ∠CED，
∴＝，解得x＝15－.
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答：立柱CD的高为 m.
宜宾中考考点梳理
锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b
正弦
sin A＝＝
余弦
cos A＝＝
正切
tan A＝＝
2.特殊角的三角函数值
三角函数\锐角α
30°
45°
60°
sin α
cos α
tan α
1
解直角三角形
3.解直角三角形常用的关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°
三边关系
a2＋b2＝c2
两锐角关系
∠A＋∠B＝90°
边角关系
sin A＝cos B＝
cos A＝sin B＝
tan A＝
4.解直角三角形的应用
仰角、俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 仰角 ，视线与水平线的夹角叫做 俯角 Ｗ.（如图①）
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坡度（坡比）、坡角
坡面的铅垂高度（h）和 水平长度 （l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tan α＝ （如图②）
方位角
物体运动的方向与正北或正南方向之间的夹角称为 方位角 Ｗ.
点A位于点O的北偏东30°方向，
点B位于点O的南偏东60°方向，
点C位于点O的北偏西45°方向（或西北方向）（如图③）
【方法点拨】解直角三角形的方法：
（1）解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；
（2）解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题.
1. 如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sin α的值为（ A ）
A. B. C. D.
（第1题图）) （第2题图）
2.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB的值是（ B ）
A. B. C. D.
3.已知a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a∶b∶c＝1∶∶，则cos B的值为（ B ）
A. B. C. D.
中考典题精讲精练
锐角三角函数概念及求值
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
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（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan 15°的值.（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）
【解析】（1）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，构造Rt△ACD求出CD的长，在Rt△ABD中，求出BD的长，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使CM＝AC，连结AM即可解得.
【解答】（1）如图①，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
在Rt△ADC中，AC＝4，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos 30°＝4×＝2.
在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，∴BD＝16.
∴BC＝BD－CD＝16－2；
（2）如图②，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM.
∵∠ACB＝150°，∴∠AMD＝∠MAC＝15°.
∴tan 15°＝tan ∠AMD＝
＝＝
＝2－
≈0.3.
运用特殊角三角函数值进行计算
【典例2】下列式子错误的是（ D ）
A.cos 40°＝sin 50°
B.tan 15°·tan 75°＝1
C.sin225°＋cos225°＝1
D.sin 60°＝2sin 30°
【解析】A.sin 40°＝sin （90°－50°）＝cos 50°，式子正确；
B.tan 15°·tan 75°＝tan 15°·＝1，式子正确；C.sin225°＋cos225°＝1正确；
D.sin 60°＝，sin 30°＝，则sin 60°＝2sin 30°错误.
解直角三角形的应用
【典例3】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为（ A ）
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A. m B. m
C. m D. m
【解析】在Rt△PCB′中，根据sin α＝列出方程可解决问题.
1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ C ）
A.sin B＝ B.sin B＝
C.sin B＝ D.sin B＝
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，AB＝10 cm，则BC的长度为（ A ）
A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm
3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝ Ｗ.
4.在△ABC 中，若角A、B满足|cos A－|＋（1 －tan B）2＝0，则∠C的大小是（ D ）
A.45° B.60° C.75° D.105°
5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1∶2，AC＝3 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为（ A ）
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A.5 m B.6 m
C.8 m D.（3＋） m
6.（2018·遵义中考）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m.（计算结果精确到0.1 m，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05） （1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为 m；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）
解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝64°，AC＝5，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4.
∴吊臂AB的长为11.4 m.故应填：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于点H，交水平线于点E.
在Rt△ADE中，AD＝20，∠DAE＝64°，EH＝1.5，
∴DE＝sin 64°×AD≈20×0.90＝18.0，
即DH＝DE＋EH≈18.0＋1.5＝19.5.
答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.
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