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高三数学文（二模答）— 2018 — 2019 学 年 度 下 学 期 高三第二次模拟考试试 题 数学（文科）参考答案 一、选择题 BBCDA DAABB BC 二、填空题 13. 1 14. 3 15. 4 3 π 16. (2,+∞) 三、解答题 17.解：（1）由 m//n 有 (2c - a)cos B = b cos A 由正弦定理可得：(2 sin C - sin A)cos B = sin B cos A …………3分 所以 2 sin C cos B = sin A cos B + sin B cos A = sin(A + B)= sin C 可得 cos B = 1 2 B = π3 …………6分 （2）由余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + 64 - 8a ① 又 SΔABC = 1 2 ac sin B = 1 2b·BD ∴ b = 7 5a ② …………9分 联立①②得 3a2 + 25a - 200 = 0 解得 a = 5 …………12分 18.解：（1）同学乙的判断不正确.…………3分 理由如下： 概率的定义：在n次重复进行的试验中，当n很大时，事件A发生的频率总是在某个常数附 近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率. 同学乙只扫了20次，即进行了20次重复试验，次数并不是很多，因此“同学乙得到‘敬业福 ’”这件事发生的频率无法近似看成其发生的概率，所以他的判断不正确. …………6分 （考生答出合理理由即可酌情给分.此问重点考察学生对概率的统计定义的理解，分清某 件事发生的频率和概率） （2）设富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福分别用A，B，C，D，E表示， 则同学甲再扫两次所获得的福字情况所构成的基本事件空间 Ω={AA,AB,AC,AD,AE,BA,BB,BC,BD,BE,CA,CB,CC,CD,CE,DA,DB,DC,DD,DE,EA,EB,EC,ED,EE}， 其中基本事件的个数为25. ……8分 集齐“五福”的所有情况M={DE，ED}，其中基本事件的个数为2. …………9分 1高三数学文（二模答）— 则他再扫两次“福”字，恰好集齐“五福”的概率P= 2 25 .…………………12分 19.解：（1）如右图，过点D，F存在一个截面DEFG使得 BP//平面DEFG，其中E，G分别为AB和PC中点. ………1分 证明：因为D，E分别为AP，AB中点，所以DE//BP， 同理，FG//BP，进而DE//FG，所以D、E、F、G四点共面， ………2分 又BP // DE，BP ⊄ 平面DEFG，DE ⊂ 平面DEFG 所以BP//平面DEFG………………3分 （画出图给2分，第一个问共5分） （2）因为 ∠APC = 90°∘，AP = PC = 2 2 ，所以 AC = 4 ，又 AB = 4 ，BC = 4 2 ， 进而有 AC2 + AB2 = BC2 ，所以 AB ⊥ AC ，…………………6分 又 AB ⊥ PC ，PC ⋂ AC = C ，PC,AC ⊂ 平面APC， 所以 AB ⊥ 平面APC ，…………………7分 因为 AB ⊂ 平面ABC ， 所以平面ABC ⊥ 平面APC ，…………………8分 取AC中点H，连结PH， 在等腰直角 ΔAPC 中，∠APC = 90∘，AP = PC = 2 2 可知，PH ⊥ AC ，PH = 2 …………………9分 又 PH ⊂ 平面PAC ，平面ABC ⋂ 平面APC = AC ， 平面ABC ⊥ 平面APC ， 所以 PH ⊥ 平面ABC …………………11分 即PH为点P到平面ABC的距离， 所以点P到平面ABC的距离为2（用等体积方法参照给分）. …………………12分 20.（1）由题意得 |CA| + |CB| = |CA| + |CM| = 4 ，为定值…………………3分 （2）由（1）知 |CA| + |CB| = 4 > |AB| 所以点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4，焦距为 |AB| = 2 3 的椭圆 则其轨迹E的方程为 x2 4 + y2 = 1 ………………4分 当直线PQ的斜率 k = 0时 ，设直线 lPQ ：y = n ，则 P(x0 ,n),Q(-x0 ,n) 所以 x0 2 4 + n2 = 1①   NP·∙   NQ = （x0 - 2,n) ·（ - x0 - 2,n)= 4 - x0 2 + n2 = 0 ② 联立①②得 n = 0 即 lPQ ：y = 0 ………………6分 当直线PQ与 x 轴不平行时，设直线 lPQ ：x = ty + m ，则 P(x1,y1 ),Q(x2 ,y2 ) 由点 N(2,0) 在椭圆E上，得 m ≠ 2 2高三数学文（二模答）— 联立 ì í î ï ï x = ty + m x2 4 + y2 = 1 得: (4 + t2)y2 + 2tmy + m2 - 4 = 0，(∗) 则 ì í î ïï ïï y1 + y2 = - 2tm4 + t2 y1y2 = m2 - 4 4 + t2 ………………8分   NP·   NQ =(x1 - 2,y1 ) · (x2 - 2,y2 )=(1 + t2)y1y2 + t(m - 2)(y1 + y2 )+(m - 2)2 = (t2 + 1)(m2 - 4)- 2t2m(m - 2)+(t2 + 4)(m - 2)2 4 + t2 = 0 化简得 5m2 - 16m + 12 = 0 解得 m = 2（舍）或 m = 6 5 ………………10分 则 lPQ ：x = ty + 6 5 ，直线恒过定点 (6 5 ,0) ，此时（*）式有两个不同的实数解。 直线斜率等于0时也过定点 (6 5 ,0) ， 综上，直线恒过定点 (6 5 ,0) ………………12分 21.解答：（1）方程 f (x)= 0 有唯一解 方程 x2 - 2x + a = 0 有唯一解 Δ = 4 - 4a = 0 ∴ a = 1…………2分 （2）f'(x)=(x2 + a - 2)ex 当 a - 2 ≥ 0 时，即 a ≥ 2 时，f ′(x)>0 ，f (x) 在 (-∞,+∞) 上的单调递增； 当 a - 2 < 0 时，即 a < 2 时， x ∈(-∞,- 2 - a) 时，f ′(x)>0 ，f (x) 在 (-∞,- 2 - a) 上的单调递增， x ∈(- 2 - a , 2 - a) 时，f ′(x)< 0 ，f (x) 在 (- 2 - a , 2 - a) 上的单调递减， x ∈(2 - a， + ∞) 时，f ′(x)>0 , f (x) 在 ( 2 - a， + ∞) 上的单调递增。 综上所述,当 a ≥ 2 时, f (x) 在 (-∞,+∞) 上的单调递增； 当 a < 2 时, f (x) 在 (-∞,- 2 - a) , ( 2 - a， + ∞) 上的单调递增， 在 (- 2 - a , 2 - a) 上的单调递减.…………6分 （3） 要证 f (m n )≥ m3 - m2n - mn2 + n3 n3 只要证 (m n - 1)2em n ≥(m n )3 -(m n )2 - m n + 1 令 x = m n 需要证 (x - 1)2ex ≥ （x - 1)2(x + 1) ………………8分 3高三数学文（二模答）— 只要证 ex ≥(x + 1) 成立 （x = 1显然成立） 令 g(x)= ex - x - 1 g'(x)= ex - 1 g(x) 在 (0,+∞) 上递增，在 (-∞,0) 上递减 ∴ g(x) min = g(0)= 0 ∴ g(x)≥ 0 ∴ ex ≥(x + 1) 所以 f (m n )≥ m3 - m2n - mn2 + n3 n3 .…………12分 22.（1）直线 l1 的普通方程为 y + 4 = - 3 3 (x - 2) 即 x + 3 y + 4 3 - 2 = 0 由 x = ρ cos θ,y = ρ sin θ 得 直线 l1 的极坐标方程为 ρ sin(θ + π6 )= 1 - 2 3 …………5分 （写成 ρ cos θ + 3 ρ sin θ + 4 3 - 2 = 0 也给分） （2）由题意知直线 l1 的参数方程为 ì í î ïï ïï x = 2 - 3 2 t y = -4 + 1 2 t ① ∵B是 l2 与 l1 的交点∴ B在直线l1上 ∴ |AB| = |t| 把①代入直线 l2：x - y + 1 = 0 得： (2 - 3 2 t)-(-4 + 1 2 t)+ 1 = 0 得 t = 7( 3 - 1) 所以线段 |AB| 的长为 7( 3 - 1) …………10分 23.解：（1）原不等式可化为 |x - 2| > 4 - x2 ， 即 x - 2 > 4 - x2 或 x - 2 < x2 - 4 所以原不等式的解集为 {x|x < -1或x > 2} …………5分 （2）由题意可知 |x - 2| + |x + 7| < 3m + 1解集是空集 令 h(x)= |x - 2| + |x + 7| 即 h(x) min ≥ 3m + 1 因为 |x - 2| + |x + 7| ≥ |(x - 2)-(x + 7)| = 9 所以 3m + 1 ≤ 9 ，m ≤ 8 3 实数 m 的取值范围为 (-∞, 8 3] …………10分 4