高三数学文（二模答）—
2018 — 2019 学 年 度 下 学 期 高三第二次模拟考试试 题
数学（文科）参考答案
一、选择题
BBCDA DAABB BC
二、填空题
13. 1 14. 3 15. 4
3 π 16. (2,+∞)
三、解答题
17.解：（1）由 m//n 有 (2c - a)cos B = b cos A
由正弦定理可得：(2 sin C - sin A)cos B = sin B cos A …………3分
所以 2 sin C cos B = sin A cos B + sin B cos A = sin(A + B)= sin C
可得 cos B =
1
2
B = π3 …………6分
（2）由余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + 64 - 8a ①
又 SΔABC
=
1
2 ac sin B =
1
2b·BD ∴ b =
7
5a ② …………9分
联立①②得 3a2 + 25a - 200 = 0
解得 a = 5 …………12分
18.解：（1）同学乙的判断不正确.…………3分
理由如下：
概率的定义：在n次重复进行的试验中，当n很大时，事件A发生的频率总是在某个常数附
近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率.
同学乙只扫了20次，即进行了20次重复试验，次数并不是很多，因此“同学乙得到‘敬业福
’”这件事发生的频率无法近似看成其发生的概率，所以他的判断不正确. …………6分
（考生答出合理理由即可酌情给分.此问重点考察学生对概率的统计定义的理解，分清某
件事发生的频率和概率）
（2）设富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福分别用A，B，C，D，E表示，
则同学甲再扫两次所获得的福字情况所构成的基本事件空间
Ω={AA,AB,AC,AD,AE,BA,BB,BC,BD,BE,CA,CB,CC,CD,CE,DA,DB,DC,DD,DE,EA,EB,EC,ED,EE}，
其中基本事件的个数为25. ……8分
集齐“五福”的所有情况M={DE，ED}，其中基本事件的个数为2. …………9分
1高三数学文（二模答）—
则他再扫两次“福”字，恰好集齐“五福”的概率P= 2
25 .…………………12分
19.解：（1）如右图，过点D，F存在一个截面DEFG使得
BP//平面DEFG，其中E，G分别为AB和PC中点. ………1分
证明：因为D，E分别为AP，AB中点，所以DE//BP，
同理，FG//BP，进而DE//FG，所以D、E、F、G四点共面，
………2分
又BP // DE，BP ⊄ 平面DEFG，DE ⊂ 平面DEFG
所以BP//平面DEFG………………3分
（画出图给2分，第一个问共5分）
（2）因为 ∠APC = 90°∘，AP = PC = 2 2 ，所以 AC = 4 ，又 AB = 4 ，BC = 4 2 ，
进而有 AC2 + AB2 = BC2 ，所以 AB ⊥ AC ，…………………6分
又 AB ⊥ PC ，PC ⋂ AC = C ，PC,AC ⊂ 平面APC，
所以 AB ⊥ 平面APC ，…………………7分
因为 AB ⊂ 平面ABC ，
所以平面ABC ⊥ 平面APC ，…………………8分
取AC中点H，连结PH，
在等腰直角 ΔAPC 中，∠APC = 90∘，AP = PC = 2 2
可知，PH ⊥ AC ，PH = 2 …………………9分
又 PH ⊂ 平面PAC ，平面ABC ⋂ 平面APC = AC ，
平面ABC ⊥ 平面APC ，
所以 PH ⊥ 平面ABC …………………11分
即PH为点P到平面ABC的距离，
所以点P到平面ABC的距离为2（用等体积方法参照给分）. …………………12分
20.（1）由题意得 |CA| + |CB| = |CA| + |CM| = 4 ，为定值…………………3分
（2）由（1）知 |CA| + |CB| = 4 > |AB|
所以点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4，焦距为 |AB| = 2 3 的椭圆
则其轨迹E的方程为 x2
4 + y2 = 1 ………………4分
当直线PQ的斜率 k = 0时 ，设直线 lPQ
：y = n ，则 P(x0 ,n),Q(-x0 ,n)
所以 x0
2
4 + n2 = 1①
NP·∙
NQ = （x0 - 2,n) ·（ - x0 - 2,n)= 4 - x0
2 + n2 = 0 ②
联立①②得 n = 0 即 lPQ
：y = 0 ………………6分
当直线PQ与 x 轴不平行时，设直线 lPQ
：x = ty + m ，则 P(x1,y1
),Q(x2 ,y2
)
由点 N(2,0) 在椭圆E上，得 m ≠ 2
2高三数学文（二模答）—
联立
ì
í
î
ï
ï
x = ty + m
x2
4 + y2 = 1
得: (4 + t2)y2 + 2tmy + m2 - 4 = 0，(∗)
则
ì
í
î
ïï
ïï
y1 + y2 = -
2tm4 + t2
y1y2 = m2 - 4
4 + t2
………………8分
NP·
NQ =(x1 - 2,y1
) · (x2 - 2,y2
)=(1 + t2)y1y2 + t(m - 2)(y1 + y2
)+(m - 2)2
=
(t2 + 1)(m2 - 4)- 2t2m(m - 2)+(t2 + 4)(m - 2)2
4 + t2 = 0
化简得 5m2 - 16m + 12 = 0
解得 m = 2（舍）或 m =
6
5 ………………10分
则 lPQ
：x = ty +
6
5 ，直线恒过定点 (6
5 ,0) ，此时（*）式有两个不同的实数解。
直线斜率等于0时也过定点 (6
5 ,0) ，
综上，直线恒过定点 (6
5 ,0) ………………12分
21.解答：（1）方程 f (x)= 0 有唯一解
方程 x2 - 2x + a = 0 有唯一解
Δ = 4 - 4a = 0
∴ a = 1…………2分
（2）f'(x)=(x2 + a - 2)ex
当 a - 2 ≥ 0 时，即 a ≥ 2 时，f ′(x)>0 ，f (x) 在 (-∞,+∞) 上的单调递增；
当 a - 2 < 0 时，即 a < 2 时，
x ∈(-∞,- 2 - a) 时，f ′(x)>0 ，f (x) 在 (-∞,- 2 - a) 上的单调递增，
x ∈(- 2 - a , 2 - a) 时，f ′(x)< 0 ，f (x) 在 (- 2 - a , 2 - a) 上的单调递减，
x ∈(2 - a， + ∞) 时，f ′(x)>0 , f (x) 在 ( 2 - a， + ∞) 上的单调递增。
综上所述,当 a ≥ 2 时, f (x) 在 (-∞,+∞) 上的单调递增；
当 a < 2 时, f (x) 在 (-∞,- 2 - a) , ( 2 - a， + ∞) 上的单调递增，
在 (- 2 - a , 2 - a) 上的单调递减.…………6分
（3） 要证 f (m
n
)≥ m3 - m2n - mn2 + n3
n3
只要证 (m
n - 1)2em
n
≥(m
n
)3 -(m
n
)2 - m
n + 1
令 x = m
n
需要证 (x - 1)2ex
≥ （x - 1)2(x + 1) ………………8分
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只要证 ex
≥(x + 1) 成立 （x = 1显然成立）
令 g(x)= ex - x - 1
g'(x)= ex - 1
g(x) 在 (0,+∞) 上递增，在 (-∞,0) 上递减
∴ g(x)
min = g(0)= 0
∴ g(x)≥ 0
∴ ex
≥(x + 1)
所以 f (m
n
)≥ m3 - m2n - mn2 + n3
n3
.…………12分
22.（1）直线 l1 的普通方程为 y + 4 = -
3
3 (x - 2)
即 x + 3 y + 4 3 - 2 = 0
由 x = ρ cos θ,y = ρ sin θ
得 直线 l1 的极坐标方程为 ρ sin(θ + π6 )= 1 - 2 3 …………5分
（写成 ρ cos θ + 3 ρ sin θ + 4 3 - 2 = 0 也给分）
（2）由题意知直线 l1 的参数方程为
ì
í
î
ïï
ïï
x = 2 -
3
2 t
y = -4 +
1
2 t
①
∵B是 l2 与 l1 的交点∴ B在直线l1上
∴ |AB| = |t|
把①代入直线 l2：x - y + 1 = 0 得：
(2 -
3
2 t)-(-4 +
1
2 t)+ 1 = 0
得 t = 7( 3 - 1)
所以线段 |AB| 的长为 7( 3 - 1) …………10分
23.解：（1）原不等式可化为 |x - 2| > 4 - x2 ，
即 x - 2 > 4 - x2 或 x - 2 < x2 - 4
所以原不等式的解集为 {x|x < -1或x > 2} …………5分
（2）由题意可知 |x - 2| + |x + 7| < 3m + 1解集是空集
令 h(x)= |x - 2| + |x + 7|
即 h(x)
min
≥ 3m + 1
因为 |x - 2| + |x + 7| ≥ |(x - 2)-(x + 7)| = 9
所以 3m + 1 ≤ 9 ，m ≤ 8
3
实数 m 的取值范围为 (-∞,
8
3] …………10分
4
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