19.1.2 函数的图象
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.了解函数的三种表示法及其优缺点.
2.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.
过程与方法:
通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题转化为数学问题的能力.
情感态度与价值观:
让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学生对数学的学习兴趣.
【重点难点】
重点:了解函数的三种表示方法.能根据具体情况选用适当的方法表示函数.会用函数相关知识解决实际问题.
难点:能根据具体情况选用适当的方法表示函数.会用函数相关知识解决实际问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
如图,要做一个面积为12 m2的小长方形花坛,该花坛的一边长为x m,周长为
y m.
(1)变量y是变量x的函数吗?如果是,写出自变量的取值范围.
(2)能求出这个问题的函数解析式吗?
(3)当x的值分别为1,2,3,4,5,6 时,请列表表示变量之间的对应关系.
(4)能画出函数的图象吗?
你能解决上面问题吗?这一节我们就来探究这些问题.
二、探究归纳
活动1:
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1.根据下列问题填空
汽车以55千米/时的速度匀速行驶, 行驶路程s千米, 行驶时间为t小时,则s与t的函数解析式为s=55t,
这种函数关系可以用表格表示:
时间
0
1
2
3
4
5
6
…
路程
0
55
110
165
220
275
330
…
这种函数关系可以用图象表示:
2.探究:
(1)以上问题分别用了哪几种方法表示函数关系的?
提示:一是用含自变量x的代数式表示y的方法;二是把一些自变量x和其对应的函数值y列成一个表格来表示的;三是用图象来表示函数关系的.
(2)表示函数关系时最常用什么方法?
提示:最常用的方法是解析式法和图象法,而列表法只能呈现部分自变量与函数值的对应关系,不易从中寻找规律,所以一般不用.
3.归纳:
表示函数的方法有三种:解析式法、列表法、图象法.
4.思考:三种表示函数的方法各自有什么优点?
提示:(1)列表法:可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值,对某些特定的数值带来一目了然的效果.(2)解析式法:可以从数量关系的角度明确自变量与函数的对应关系.(3)图象法:可以直观形象地反映函数的变化趋势,对于一些无法用解析式表示的函数可以用图象法.
活动2:例题讲解
【例1】 某工厂现在年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与时间x(年)之间的函数解析式.
(2)画出函数图象.
(3)求5年后的年产值.
分析:(1)根据题意,找出等量关系,列出y与x的函数解析式.
(2)根据函数解析式列表、描点、连线画函数图象.
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(3)求5年后的年产值,就是当年数x=5时,代入函数解析式,求出y的值即为年产值.
解:(1)函数解析式为y=15+2x(x≥0).
(2)列表:
x
0
1
2
3
4
5
6
…
y=15+2x
15
17
19
21
23
25
27
...
描点、连线,得出图象如图.
(3)当x=5时,y=15+2×5=25.
所以,5年后的年产值是25万元.
总结:函数的三种表示方法的关系
解析式法和图象法应用较广泛,写函数关系式时要注意弄清函数与变量间的相等关系,用解析式表示.画出函数图象离不开解析式和列表格,列表格时自变量的选取要利于描点画图象.
【例2】 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地,行驶过程中路程与时间关系的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)谁先出发?先出发多少时间?谁先到达终点?先到多少时间?
(2)分别求出甲、乙两人的行驶速度.
(3)在什么时间段内,两人均行驶在途中?(不包括起点和终点)
分析:把数和形结合在一起,准确理解函数的图象和性质,由图象可知:
(1)甲、乙出发的先后和到达终点的先后.
(2)由路程6公里和运动的时间,可分别求出他们的速度.
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(3)结合图形可知他们都在行驶的时间段.
解:由图象可知:(1)甲先出发:先出发10分钟;乙先到达终点;先到5分钟.
(2)甲的速度为=0.2公里/分钟,乙的速度为=0.4公里/分钟.
(3)在甲出发后10分钟到25分钟这段时间内,两人都行驶在途中.
总结:利用函数知识解决实际问题的方法
(1)认真审题,理解题意,注意问题中变量之间的关系.
(2)观察图象,特别是图象中的常量、变量以及两坐标轴表示的意义等,从图象中获取有效信息.
(3)分析有效信息,解决实际问题.
三、交流反思
这节课我们学习了函数的三种表示方法,三种表示方法各有其优缺点,并且可以相互转化.通过实际问题中的列表、描点、连线体会函数图象的三种表示方法间的相互转化.
四、检测反馈
1.下列表格列出了一项实验的统计数据,它表示皮球从一定高度落下时,下落高度y与弹跳高度x的关系,能表示这种关系的函数关系式为 ( )
y
50
80
100
150
x
30
45
55
80
A.y=x2 B.y=2x-10
C.y=x+25 D.y=x+5
2.某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存入储蓄盒内,盒内原有60元,2个月后盒内有钱80元,则盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系式为
( )
A.y=60+2x (x为自然数)
B.y=80+2x (x为自然数)
C.y=60+10x (x为自然数)
D.y=80+10x (x为自然数)
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3.下列平面直角坐标系中的图象,不能表示y是x的函数的是 ( )
4.小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示.放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是 ( )
A.14 min B.17 min C.18 min D.20 min
5.如图,OA,BA分别表示甲、乙两名学生匀速跑步运动的一次函数,图中s和t分别表示运动路程和时间,根据图象判断跑步快者比慢者每秒快____ (m).
6.利用y=2x3的图象(如图),解答下列问题:
(1)当x=2.75时,y的值是________.
(2)当y=10时,x的值是______.
7.水管是圆柱形的物体,在施工中,常常如图那样堆放,随着层数的增加,水管的总数是如何变化的?如果假设层数为n,物体总数为y,
(1)请你观察图形填写下表,
n
1
2
3
4
5
…
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y
…
(2)请你写出y与n的函数解析式.
8.用长为20的铁丝焊接成一个长方形,设长方形的一边为x,面积为y,随着x的变化,y的值也随之变化.
(1)写出y与x之间的解析式.
(2)用表格表示当x从1变化到9时(每次增加1),y的相应值.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
(3)当x为何值时,y的值最大?
五、布置作业
教科书第82页习题19.1的第7,9,10,11,12,13题
六、板书设计
19.1.2 函数的图象
第2课时
一、函数的三种表示方法
(1)解析式法.
(2)列表法.
(3)图象法.
二、用函数知识解决实际问题
三、例题讲解 四、学生板演
七、教学反思
本节课是函数的图象第2课时,其学习内容都是学生所熟知的或发生在身边的事情,引入可由上节课所学的知识入手,这些内容有利于学生联系实际,主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.通过一些现实生活中用图象来反映的问题实例,让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程.很多数学问题可以用解析式或表格的形式给出,但是生活中还有很多是没办法用式子或表格的形式来表达的,例如心电图、温度变化、股票走势等,首先让学生明白什么是函数的图象,也就是函数图象的概念,其次本节课选取温度变化的图象为例题,从温度变化图象入手,教学生如何观察分析图象,学会观察图象的一般步骤,利用问题串的形式引导学生逐步深入获得图象所传达的信息,逐步熟悉图象语言.
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