问题02 函数中存在性与恒成立问题
一、考情分析
函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.
二、经验分享
(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.
(2) 对于一次函数有：
(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．
(4) 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:
①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；
②求在上的最大（或最小）值；
【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____.
【解析】的定义域为，且，
为奇函数，且在上单调递增，
由得，，
，，
①时，，
②时，，
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的最小值为1，，
实数的取值范围是，故答案为.
(二)分离参数法
【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．
(1)求实数的值；
(2)若对任意成立,求实数的取值范围.
【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：,从而解得；（2）要使对任意恒成立,只需即可,而由（1）可知,∴问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,,∴在上是增函数；当时,,∴在上是减函数,因此在处取得最大值,∴即为所求.
【点评】
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在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.
【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
(五)存在性之常用模型及方法
【例5】设函数,且.曲线在点处的切线的斜率为.
（1）求的值；
（2）若存在,使得,求的取值范围.
【分析】（1）根据条件曲线在点处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：,；（2）根据题意分析可得若存在,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求的单调性进而求得的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断的单调性,从而可以解得的取值范围是.
【解析】（1）,
由曲线在点处的切线的斜率为,得,
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②当时,,
极小值
,
不合题意,无解,10分
③当时,显然有,,∴不等式恒成立,符合题意,
综上,的取值范围是.
6．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在唯一的整数,使得成立,则实数的取值范围为__________．
【答案】
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7．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在x∈R,使得 ≥ （a＞0且a≠1）成立,则实数a的取值范围是_____．
【答案】或 且 .
【解析】,
∴（3x﹣4）,
当3x﹣4=0即时,
故舍去
当3x﹣40即时, ,令t=3x﹣4＞0, ,所以 ≥1．所以a≥2．
当3x﹣40即时,令t=3x﹣40,所以a
综上,a≥2或0＜ a且a≠1．
14．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a为常数,e=2．718…）,且函数处的切线和处的切线互相平行．
（1）求常数a的值；
（2）若存在x使不等式成立,求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
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试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问,先利用导数求出函数在处的切线的斜率,再求出函数函数在处的切线的斜率, 根据题意列出等式,解出a的值；第二问,先将转化为, 构造函数, 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到m的取值范围．
（2）可化为,
令,则,
因为,所以,
, 故,
所以在上是减函数,因此,
所以,实数的取值范围是；
16. 【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】已知函数，直线是曲线的一条切线．
（1）求实数a的值；
（2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值．
【解析】
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（2） 令F(x)＝f(x)－k(x－1)，
则根据题意，等价于F(x)＞0对任意的正数x恒成立.
F ′(x)＝lnx＋2－k，
令F ′(x)＝0，则x＝ek－2 .
当0＜x＜ek－2 ，则F ′(x)＜0，F(x)在（0，ek－2）上单减；
当x＞ek－2 ，则F ′(x)＞0，F(x)在（ek－2，＋∞）上单增.
所以有F(x)＝F(ek－2) ＞0，即ek－2－k－1＜0.
当k＝3，容易验证，ek－2－k－1＜0；
下证：当k≥4，ek－2－k－1＞0成立.
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