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衡阳市八中 2019 年下期高二期中考试
数 学 试 卷
命题人：彭 韬 审题人：方岭生
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，时量 120 分钟
2.答卷前，考生务必将自己的班级、学号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题 pq 是假命题 B．命题 pq 是真命题
C．命题 pq 是真命题 D．命题 ()pq 是假命题
2．已知变量 x 与 y 负相关，且由观测数据算得样本平均数 x =1.5， y =5，则由该观测数据算得的线
性回归方程可能是（ ）
A. ˆ 0.8 6.2yx B. ˆ 0.5 8yx C. ˆ 0.6 4.1yx D. ˆ 0.6 5yx
3．椭圆 222 3 6xy的长轴长是（ ）
A． 2 B． 3 C． 22 D． 23
4．已知随机事件 ,AB中， A 与 B 互斥，且 0.3, 0.4P A P B，则 P A B（ ）
A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
5.曲线 3 3y x x上切线平行于 x 轴的点的坐标是 （ ）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
6.已知点 0,2A ， 2,0B .若点C 在抛物线 2yx 上，则使得 ABC 的面积为 2 的点 有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知长方体 中， 1 22AA AB BC， 为 中点，则异面直线 与 所
形成角的余弦值为( )
A. 10
10
B. 1
5
C. 3 10
10
D. 3
5
8. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 2yx ，则该双曲线的离心率
是（）
1 1 1 1ABCD A B C D E 1AA BE 1CD第 2 页，共 4 页
A. 3 B. 5 C. 或 6
2
D. 或
9. 已知函数 ()y xf x 的图象如图所示，
其中 ()fx 是函数 ()fx的导函数，则
函数 ()y f x 的大致图象可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 4 个高矮互不相同的同学站成前后两排，每排 2 人，则后排每个同学都高于站在他正前面的同学
的概率为（ ）
A． 1
4 B． 1
6 C． 1
8 D． 1
12
11. 若 3 3a ， 5 5b ， 6 6c ，则（ ）
A. abc B.c a b C.c b a D. bac
12. 已知若 ()F x f x ，则称 Fx为 fx的原函数，此时 所有的原函数为 F x C ，
其中C 为常数，如： ( ) 2g x x ，则 2()g x x C（ 为常数）.现已知函数 的导函数为 fx ，
且对任意的实数 x 都有 23xf x e x f x （e 是自然对数的底数），且 01f ，若关于 x
的不等式 0f x m的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2,0e B． 2,0e C． ,0e D． ,0e
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
13. 若函数 ( ) ln(2019 )f x x , 则 (1)f ________．
14. 设 1,2,3 , ,1,0a b x 且 ()a a b, 则实数 x ______．
15. 已知直线 1y kx与双曲线
22
143
xy的右支交于两点，则实数 k 的取值范围为______．
16. 若实数 a b c d,,, 满足
23 16 9 14
ac
bd
，则 22( ) ( )a c b d 的最小值为______．
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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，满分 70 分.
17.（本题满分 10 分）设命题 :p 实数 x 满足( )( 3 ) 0x a x a ，其中 0a ，命题 :q 实数 满足
2 5 6 0xx ．
(1) 若 1a ，且 pq 为真，求实数 的取值范围；
(2) 若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
18.（本题满分 12 分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p过点 (4, 4 2)M
(1) 求抛物线C 的方程；
(2) 设 F 为抛物线 的焦点，直线 : 2 8l y x与抛物线 交于 ,AB两点，求 ABF 的面积．
19.（本题满分 12 分）已知函数 32()f x x ax bx c ,当 1x 时取得极大值 7，当 3x 时
取得极小值；
(1)求 ()fx解析式及 的单调增区间；
(2)求 ()fx在[ 4, 4] 的最小值。
20.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，SA 底面 ABCD，四边形 是边长为1的
正方形．且 1SA ，点 M 是 SD 的中点．
(1) 求证： SC AM ；
(2) 求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小． 第 4 页，共 4 页
21.（本题满分 12 分）已知椭圆
22
22: 1( 0)xyC a bab 的左、右焦点分别为 12,FF，离心率为 1
2
，
P 是椭圆C 上的一个动点，且 12PF F 面积的最大值为 3 .
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 设直线 2PF 斜率为 ( 0)kk ，且 与椭圆 的另一个交点为Q ，是否存在点 (0, )Tt，使得
| |=|TQ|TP ，若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分 12 分）已知 2( ) 2ln( 2) ( 1) ( ) ( 1)f x x x g x k x ， .
(1) 求 ()fx的单调区间；
(2) 当 2k 时，求证：对于 1x ， ( ) ( )f x g x 恒成立；
(3) 若存在 0 1x ，使得当 0( 1, )xx 时，恒有 ( ) ( )f x g x 成立，试求实数 k 的取值范围.
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