数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
A
B
C
D
C
A
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．2 14．5 15． 16．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解：（1）在中，由正弦定理得， ……………2分
，， ……………4分
因为，所以. ……………6分
（2），且，， ……………7分
在中，，，
由余弦定理得， ……………9分
即，解得：或 …………11分
的长为1或3. ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）如图连接，易知，均为正三角形，取中点，
连接， ，则， ……………2分
又， 平面，
平面， ……………4分
又平面，所以. ……………5分
（2）因为二面角为直二面角，所以平面平面，
又因为平面平面，且，所以平面.
又因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………6分
则，，.所以，
设平面的法向量为.由得
取，所以. ……………9分
又因为直线平面，所以是平面的一个法向量，
所以. ……………11分
又因为二面角为锐二面角
所以二面角的余弦值. ……………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，解得
所以椭圆的方程为. ……………4分
（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴ ……………6分
由得：或…………7分
因为坐标原点在以线段为直径的圆外
∴ ……………9分
又
∵，即 ∴. ……………11分
故或. ……………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为. ……………2分
（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，
由题意，或
……………3分
； ……………4分
……………5分
故的分布列为：
47000
39000
所以数学期望 ……………6分
（3）机器人在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：
①先到第格，又出现反面，其概率，
②先到第格，又出现正面，其概率
所以，故 ……………8分
所以时，数列为首项，
公比为的等比数列.
所以，，，，， ……………9分
以上各式累加，得，
所 …10分
所以获胜概率，
失败概率 ……………11分
，所以获胜概率更大，
故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为．， …………1分
当时，在单调递增，
，时，
∴存在唯一正数，使得， ……………3分
函数在单调递减，在单调递增，
∴函数有唯一极小值点，没有极大值点，
∴当时，有唯一极小值点，没有极大值点． ……………5分
（2）由（1）知，当时，有唯一极小值点，
∴，恒成立
∵，∴，
∴． ……………6分
令，则在单调递减，
由于，，
∴存在唯一正数，使得，从而．……8分
由于恒成立，
①当时，成立；
②当时，由于，∴．
令，当时，，
∴在单调递减，从而．
∵，且，且，
∴． ……………10分
下面证明时，．
，且在单调递增，由于，，
∴存在唯一，使得，
∴．
令，，易知在单调递增，
∴，
∴，即时，．
∴的最大值是10． ……………12分
22．（本小题满分10分）
解：（1）曲线的极坐标方程可化为 ……………………2分
将 代入上式得，
所以曲线的直角坐标方程为. ………………………………5分
（2）将直线的参数方程代入得
，化简得 ； ………6分
由，得 ；
， ………………………8分
，
所以. ………………………………10分
23. （本小题满分10分）
解：（1） .……2分
当时，无解；
当时，由得，解得；
当时，恒成立，则；
综上所述，不等式的解集为. …………………………5分
（2）不等式恒成立,
恒成立. ………………………………7分
当时，；
当时，；
当时，,
， ………………………………9分
，即实数的取值范围. ………………………………10分
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