湖南省永州市2020届高三数学(理)上学期一模试卷(PDF版带答案)
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资料简介
数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D A B C D C A D B ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎ 13.2 14.5 15. 16. ‎ 三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(1)在中,由正弦定理得, ……………2分 ‎,, ……………4分 因为,所以. ……………6分 ‎(2),且,, ……………7分 在中,,, ‎ 由余弦定理得, ……………9分 即,解得:或 …………11分 的长为1或3. ……………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)如图连接,易知,均为正三角形,取中点,‎ 连接, ,则, ……………2分 又, 平面, ‎ 平面, ……………4分 又平面,所以. ……………5分 ‎(2)因为二面角为直二面角,所以平面平面,‎ 又因为平面平面,且,所以平面.‎ 又因为,故以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………6分 则,,.所以,‎ 设平面的法向量为.由得 取,所以. ……………9分 又因为直线平面,所以是平面的一个法向量,‎ 所以. ……………11分 又因为二面角为锐二面角 所以二面角的余弦值. ……………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)由题意知,解得 所以椭圆的方程为. ……………4分 ‎(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,‎ 联立,消去,整理得:‎ ‎∴ ……………6分 由得:或…………7分 因为坐标原点在以线段为直径的圆外 ‎∴ ……………9分 又 ‎∵,即 ∴. ……………11分 故或. ……………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(1)根据条形图可知,优等品的频率为,用频率估计概率,则任取一件产品为优等品的概率为. ……………2分 ‎(2)由(1)任取一件产品为优等品的概率为,‎ 由题意,或 ‎ ……………3分 ‎; ……………4分 ‎ ……………5分 故的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎47000‎ ‎39000‎ 所以数学期望 ……………6分 ‎(3)机器人在第0格为必然事件,,第一次掷硬币出现正面,机器人移到第1格,其概率.机器人移到第格的情况只有两种:‎ ①先到第格,又出现反面,其概率,‎ ②先到第格,又出现正面,其概率 所以,故 ……………8分 所以时,数列为首项,‎ 公比为的等比数列.‎ 所以,,,,, ……………9分 以上各式累加,得, ‎ 所 …10分 所以获胜概率,‎ 失败概率 ……………11分 ‎,所以获胜概率更大,‎ 故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(1)函数的定义域为., …………1分 当时,在单调递增,‎ ‎,时,‎ ‎∴存在唯一正数,使得, ……………3分 函数在单调递减,在单调递增,‎ ‎∴函数有唯一极小值点,没有极大值点,‎ ‎∴当时,有唯一极小值点,没有极大值点. ……………5分 ‎(2)由(1)知,当时,有唯一极小值点,‎ ‎∴,恒成立 ‎∵,∴,‎ ‎∴. ……………6分 令,则在单调递减,‎ 由于,,‎ ‎∴存在唯一正数,使得,从而.……8分 由于恒成立,‎ ‎①当时,成立;‎ ‎②当时,由于,∴.‎ 令,当时,,‎ ‎∴在单调递减,从而.‎ ‎∵,且,且,‎ ‎∴. ……………10分 下面证明时,.‎ ‎,且在单调递增,由于,,‎ ‎∴存在唯一,使得,‎ ‎∴.‎ 令,,易知在单调递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即时,.‎ ‎∴的最大值是10. ……………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 解:(1)曲线的极坐标方程可化为 ……………………2分 将 代入上式得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为. ………………………………5分 ‎(2)将直线的参数方程代入得 ‎ ,化简得 ; ………6分 由,得 ;‎ ‎, ………………………8分 ‎ ,‎ 所以. ………………………………10分 ‎23. (本小题满分10分)‎ 解:(1) .……2分 当时,无解; ‎ 当时,由得,解得; ‎ 当时,恒成立,则;‎ 综上所述,不等式的解集为. …………………………5分 ‎(2)不等式恒成立, ‎ 恒成立. ………………………………7分 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,,‎ ‎, ………………………………9分 ‎,即实数的取值范围. ………………………………10分

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