数学（文科）参考答案.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 1 页（共 6 页） 绝密★启用前 试卷类型：（A） 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 数 学（文科） 2020．3 本试卷共 23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则集合 的子集共有 2．若复数 的实部为 ，其中 为实数，则 3．已知向量 ， ， ，且实数 ,若 、 、 三 点共线，则 4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以 生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那 么兔子对数依次为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……，这就 是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 ，其中 ， .若从该数列的前 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为 5．设 ， ， ，则下列正确的是 6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 名队员某场比赛的得分数据（单位： A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 A． B． C． D． A． B． C． D． A． B． C． D． A． B． C． D． {1 2 3 4 5}A = ，，，， {0 2 4 6}B = ，，， A B 2i 1 i az += − 0 a | |z = ( 1, )OA k= − (1, 2)OB = ( 2, 0)OC k= + 0k > A B C k = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 )Ν,3(21 ∗ −− ∈≥+= nnaaa nnn 11 =a 12 =a 100 23.0=a 3.0)2(=b 2log 3.0=c 6 2 4 6 8 2 2 1 2 2 0 1 2 3 3 1 100 33 2 1 100 67 cba >> bca >> bac >> cab >>深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 2 页（共 6 页） 分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 和 的值为 7．若双曲线 （ ， ）的焦距为 ，且渐近线经过点 ，则此双 曲线的方程为 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的 三视图，则该三棱锥的体积为 9．已知函数 的最大值、 最小值分别为 和 ，关于函数 有如下四个结论： ① ， ； ②函数 的图象 关于直线 对称； ③函数 的图象 关于点 对称； ④函数 在区间 内是减函数． 其中，正确的结论个数是 A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 A． B． C． D． A． B． C． D． x y 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 2 5 (1, 2)− 1 π( ) sin( ) ( 0)3f x A x b A= + + > 3 1− ( )f x 2A = 1b = ( )f x C 5π 6x = − ( )f x C 2π( ,0)3 ( )f x π 5π( , )6 6 2 6 4 6 2 7 4 7 2 2 14 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 16 x y− = 2 2 116 4 x y− = 12 16 24 32深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 3 页（共 6 页） 10．函数 的图象大致为 11．已知直三棱柱 ， ， ， 和 的中 点分别为 、 ，则 与 夹角的余弦值为 12．函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若 ， 且 ，则 的解集为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若 ，则 ________. 14 ． 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， ，则 的外接圆面积为________. 15．已知一圆柱内接于一个半径为 的球内，则该圆柱的最大体积为________. A． B． C． D． A． B． C． D． A． B． C． D． 2( ) cos ln( 1 )f x x x x= ⋅ + − 1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ = ° 1 2AB BC AA= = = 1BB 1 1B C E F AE CF ( )f x (0, )+∞ ( )f x′ ( ) ( ) (1 ) xxf x f x x e′ + = − (2) 0f = ( ) 0f x > π 1sin( )4 3 α + = sin 2α = ABC∆ A B C a b c ( )(sin sin )a b A B+ − = ( )sina c C− 2b = ABC∆ 3 1 2 3 4 3 5 2 5 4 5 15 5 (0, 1) (0, 2) (1, 2) (1, 4) x y 1 1− π-π ο A . x y 1 1− π-π ο D . x y 1 1− π-π ο C . x y 1 1− π-π ο B .深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 4 页（共 6 页） 16. 设椭圆 : 的左、右焦点分别为 、 ，其焦距为 ， 为坐 标原点，点 满足 ,点 是椭圆 上的动点，且 恒成立， 则椭圆 离心率的取值范围是________. 三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题 为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 ， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 前 项和为 . 18．（本小题满分 12 分） 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 （单位：万件）与月 销售单价 （单位：元/件）之间的关系，对近 个月的月销售量 和月销售单价 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价 （元/件） 月销售量 （万件） （1）若用线性回归模型拟合 与 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回 归直线方程分别为： ， 和 ，其中有且仅有一位实习 员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由； （ 2 ） 若 用 模 型 拟 合 与 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 分 别 为 和 ， 请 用 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 ； （3）已知该商品的月销售额为 （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月 销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 ） 参考数据： . { }na C )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x 1F 2F c2 O P aOP 2= A C 211 3 FFAFPA ≤+ C 1 4a = 1( 1) 4( 1)n nn a na n++ − = + ( )n ∗∈N { }na 1 1 n n n b a a + = ⋅ { }nb n nT y x 6 iy ix ( 1,2,3, ,6)i =  x 4 5 6 7 8 9 y 89 83 82 79 74 67 y x ˆ 4 105y x= − + ˆ 4 53y x= + 1043ˆ +−= xy cbxaxy ++= 2 y x 25.90875.0375.0ˆ 2 ++−= xxy 2R 9702.0 9524.0 2R z 01.0 91.806547 ≈深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 5 页（共 6 页） 19．（本小题满分 12 分） 如图，四边形 为长方形， ， 、 分别为 、 的中点，将 沿 折到 的位置，将 沿 折到 的位置，使得平面 底 面 ，平面 底面 ，连接 . （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 20．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，过点 的动圆恒与 轴相切, 为该圆的直径，设点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）过点 的任意直线 与曲线 交于点 , 为 的中点，过点 作 轴的 平行线交曲线 于点 , 关于点 的对称点为 ，除 以外，直线 与 是否有其它 公共点？说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）当 时，判断函数的单调性； （2）讨论 零点的个数. ABCD 2 4AB BC= = E F AB CD ADF∆ AF AD F′∆ BCE∆ CE B CE′∆ AD F′ ⊥ AECF B CE′ ⊥ AECF B D′ ′ B D′ ′ / / AECF B′ AD F′− xOy )0,2(F y FP P C C )4,2(A l C M B AM B x C D B D N M MN C ( ) ( ) ( )21 ln 1 1.f x x x ax a x= − + + − − 1a = − ( )f x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 6 页（共 6 页） （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定 的题目．如果多做，则按所做的第一题计分， 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜 角），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的直角坐标方程； （2）直线 与 相交于 两个不同的点，点 的极坐标为 ，若 ，求直线 的普通方程． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 为正数，且满足 证明： （1） ； （2） xOy 1C    = +−= ,sin ,cos32 α α ty tx t α x 2C θρ sin4= 2C 1C 2C FE, P (2 3,π) PFPEEF +=2 1C , ,a b c 1.a b c+ + = 1 1 1 9a b c + + ≥ 8 .27ac bc ab abc+ + − ≤