深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 1 页（共 6 页）
绝密★启用前 试卷类型：（A）
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
数 学（文科） 2020．3
本试卷共 23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则集合 的子集共有
2．若复数 的实部为 ，其中 为实数，则
3．已知向量 ， ， ，且实数 ,若 、 、 三
点共线，则
4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以
生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那
么兔子对数依次为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……，这就
是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 ，其中 ，
.若从该数列的前 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
5．设 ， ， ，则下列正确的是
6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 名队员某场比赛的得分数据（单位：
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
A． B． C． D．
A． B． C． D．
A． B． C． D．
A． B． C． D．
{1 2 3 4 5}A = ，，，， {0 2 4 6}B = ，，， A B
2i
1 i
az
+= − 0 a | |z =
( 1, )OA k= − (1, 2)OB = ( 2, 0)OC k= + 0k > A B C
k =
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
)Ν,3(21
∗
−− ∈≥+= nnaaa nnn 11 =a
12 =a 100
23.0=a 3.0)2(=b 2log 3.0=c
6
2 4 6 8
2 2 1 2
2
0 1 2 3
3
1
100
33
2
1
100
67
cba >> bca >> bac >> cab >>深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 2 页（共 6 页）
分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 和 的值为
7．若双曲线 （ ， ）的焦距为 ，且渐近线经过点 ，则此双
曲线的方程为
8．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的
三视图，则该三棱锥的体积为
9．已知函数 的最大值、
最小值分别为 和 ，关于函数 有如下四个结论：
① ， ；
②函数 的图象 关于直线 对称；
③函数 的图象 关于点 对称；
④函数 在区间 内是减函数．
其中，正确的结论个数是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
x y
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 2 5 (1, 2)−
1
π( ) sin( ) ( 0)3f x A x b A= + + >
3 1− ( )f x
2A = 1b =
( )f x C 5π
6x = −
( )f x C 2π( ,0)3
( )f x π 5π( , )6 6
2 6 4 6 2 7 4 7
2
2 14
x y− =
2
2 14
yx − =
2 2
14 16
x y− =
2 2
116 4
x y− =
12 16
24 32深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 3 页（共 6 页）
10．函数 的图象大致为
11．已知直三棱柱 ， ， ， 和 的中
点分别为 、 ，则 与 夹角的余弦值为
12．函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若 ，
且 ，则 的解集为
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 ，则 ________.
14 ． 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若
，
，则 的外接圆面积为________.
15．已知一圆柱内接于一个半径为 的球内，则该圆柱的最大体积为________.
A． B． C． D．
A． B． C． D．
A． B． C． D．
2( ) cos ln( 1 )f x x x x= ⋅ + −
1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ = ° 1 2AB BC AA= = = 1BB 1 1B C
E F AE CF
( )f x (0, )+∞ ( )f x′ ( ) ( ) (1 ) xxf x f x x e′ + = −
(2) 0f = ( ) 0f x >
π 1sin( )4 3
α + = sin 2α =
ABC∆ A B C a b c ( )(sin sin )a b A B+ − =
( )sina c C−
2b = ABC∆
3
1 2 3 4
3
5
2
5
4
5
15
5
(0, 1) (0, 2) (1, 2) (1, 4)
x
y
1
1−
π-π
ο
A .
x
y
1
1−
π-π ο
D .
x
y
1
1−
π-π
ο
C .
x
y
1
1−
π-π ο
B .深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 4 页（共 6 页）
16. 设椭圆 : 的左、右焦点分别为 、 ，其焦距为 ， 为坐
标原点，点 满足 ,点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，
则椭圆 离心率的取值范围是________.
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题
为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一 ) 必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 前 项和为 .
18．（本小题满分 12 分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 （单位：万件）与月
销售单价 （单位：元/件）之间的关系，对近 个月的月销售量 和月销售单价
数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价 （元/件）
月销售量 （万件）
（1）若用线性回归模型拟合 与 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
归直线方程分别为： ， 和 ，其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确
的，并说明理由；
（ 2 ） 若 用 模 型 拟 合 与 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为
，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数
分 别 为 和 ， 请 用 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 ；
（3）已知该商品的月销售额为 （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月
销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到 ）
参考数据： .
{ }na
C )0(12
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
1F 2F c2 O
P aOP 2= A C 211 3 FFAFPA ≤+
C
1 4a = 1( 1) 4( 1)n nn a na n++ − = + ( )n ∗∈N
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅ { }nb n nT
y
x 6 iy ix
( 1,2,3, ,6)i =
x 4 5 6 7 8 9
y 89 83 82 79 74 67
y x
ˆ 4 105y x= − + ˆ 4 53y x= + 1043ˆ +−= xy
cbxaxy ++= 2 y x
25.90875.0375.0ˆ 2 ++−= xxy 2R
9702.0 9524.0 2R
z
01.0
91.806547 ≈深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 5 页（共 6 页）
19．（本小题满分 12 分）
如图，四边形 为长方形， ， 、 分别为 、 的中点，将
沿 折到 的位置，将 沿 折到 的位置，使得平面 底
面 ，平面 底面 ，连接 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 中，过点 的动圆恒与 轴相切, 为该圆的直径，设点
的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的任意直线 与曲线 交于点 , 为 的中点，过点 作 轴的
平行线交曲线 于点 , 关于点 的对称点为 ，除 以外，直线 与 是否有其它
公共点？说明理由.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数
（1）当 时，判断函数的单调性；
（2）讨论 零点的个数.
ABCD 2 4AB BC= = E F AB CD
ADF∆ AF AD F′∆ BCE∆ CE B CE′∆ AD F′ ⊥
AECF B CE′ ⊥ AECF B D′ ′
B D′ ′ / / AECF
B′ AD F′−
xOy )0,2(F y FP P
C
C
)4,2(A l C M B AM B x
C D B D N M MN C
( ) ( ) ( )21 ln 1 1.f x x x ax a x= − + + − −
1a = −
( )f x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 6 页（共 6 页）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定
的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜
角），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）求 的直角坐标方程；
（2）直线 与 相交于 两个不同的点，点 的极坐标为 ，若
，求直线 的普通方程．
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 为正数，且满足 证明：
（1） ；
（2）
xOy 1C
=
+−=
,sin
,cos32
α
α
ty
tx t α
x 2C
θρ sin4=
2C
1C 2C FE, P (2 3,π)
PFPEEF +=2 1C
, ,a b c 1.a b c+ + =
1 1 1 9a b c
+ + ≥
8 .27ac bc ab abc+ + − ≤
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