曲靖一中高考复习质量监测卷六
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
B
A
C
D
B
A
C
D
【解析】
1．，，故选D．
2．，所以对应的点位于复平面内的第三象限，故选C．
3．已知在抽取的500人样本中，到过中共一大会址或井冈山的学生共计40人，据题意可知，样本中到过中共一大会址的人数是，到过中共一大会址的样本频率等于，据此估计全校学生中到过中共一大会址的学生人数大约有，故选B．
4．（是干扰条件，与结论无关）内角成等差数列，则，．设公差为，由成等比数列得，，，，故选A．
5．当时，恒成立，排除A，D；当时，恒成立，再排除C，故选B．
6．； ；；
，故选A．
7．，，，曲线在点处的切线的方程是
，令，求得的纵截距等于2，令求得的横截距等于，则与坐标轴围成的三角形面积，故选C．
8．函数的零点集合，通过搭配列举，在中任意取两个数，共有45种不同取法，的全部质数组成的集合，在中任意取两个数共有6种不同取法．则事件“在函数的全部零点中随机取两个数都是质数”发生的概率，故选D．
9．选项A是正确的；对于选项B，是正三角形，平面，则，不可能是正三角形（另可验证，C，D都是正确），故选B．
10．记是以为直径的圆与双曲线位于第一象限的交点，由构成正六边形的六个顶点知是正三角形，则，代入双曲线方程解得，故选A．
11．①函数是偶函数．当时，，的取值范围是，则在上，函数的值域是，命题正确；②函数
，时，，因此命题正确；
③，（零点孤立），则函数在实数集上单调递增； ④，当时，，当时，，故函数在区间上单调递增，命题正确，故选C．
12．①在方程中，将换成方程不变，曲线关于轴对称，命题正确；②取，得，取，得，取，得，，时，方程无解，则曲线上恰有6个整数点，命题正确；③曲线与坐标轴交于及四个点，曲线位于以四个点为顶点的菱形外，菱形面积等于8，则命题正确；④记曲线上的点到坐标原点的距离为，则，
，当且仅当时取等号，命题正确，故①②③④都正确，故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
；
【解析】
13．在递推式中，取，得，．
，，．
评分标准：只有其中一个空正确给3分（不分先后难易，两空都正确给5分）
14．由余弦定理，得，则
．
15．设，将相关点的坐标代入等式，得，化简整理得点的轨迹方程（即初三所学反比例函数，图象是双曲线）．
图1
16．依题意作出正方体，易知，，已知，则平面，进而．同理可证．已知，则平面．如图1，取六条棱的中点得正六边形，易证平面平面，则平面．使与垂直的截面沿着移动，截面接近点或时，截面趋近于点，面积趋近于0，截面与正六边形重合时，面积达到最大．已知正方体棱长等于2，则，，所以所求截面面积最大值等于．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）组实验小鼠样本容量，根据组实验甲离子残留百分比频率分布直方图，计算(估计)甲离子残留百分比频数如下表：
Ａ组实验甲离子残留频数表
[0，1.5)
[1.5，
2.5)
[2.5，
3.5)
[3.5，
4.5)
[4.5，
5.5)
[5.5，
6.5)
[6.5，
7.5)
[7.5，
8.5)
[8.5，
100]
0
15
20
30
20
10
5
0
0
………………………………………………………………………………………（3分）
由组实验乙离子残留百分比频率分布直方图，
可知，解得，
从而.
组实验小鼠样本容量，根据乙离子残留百分比频率分布直方图，计算(估计)乙离子残留百分比频数如下表：
B组实验乙离子残留频数表
[0，1.5)
[1.5，
2.5)
[2.5，
3.5)
[3.5，
4.5)
[4.5，
5.5)
[5.5，
6.5)
[6.5，
7.5)
[7.5，
8.5)
[8.5，
100]
0
0
5
10
15
35
20
15
0
…………………………………………………………………………………（6分）
（学生解答，允许直接填表，不写过程）
（2）在甲离子残留百分比的频率分布直方图中，频率最大值等于0.30，对应区间是，
则估计甲离子残留百分比的众数为.
设甲离子样本中位数为，因为，，
则，，解得中位数.
由（1）知，．
取区间中点值代替区间均值来计算，乙离子残留百分比的平均值为
.
综上，估计甲离子残留百分比的众数和中位数都是4%，估计乙离子残留百分比的平均值是6%． ……………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）选择①作为依据，
由正弦定理得，
由，得，
，
则，，． ……………………………………………………（6分）
（2）若选择添加④作为条件，
由余弦定理，得，
，，时取等号，
所以，，．
……………………………………………………………（12分）
若选择添加“⑤的周长等于6”作为条件，
由余弦定理，得（当且仅当时取等号），
，．
所以，，． ……………………（12分）
(命题说明：开放与选择，可能是未来高考命题的一个趋势．对于（1），选择③时最简单，选择②时转化稍烦，选择①时相对最烦，但三种选择求得的结果是一样的．对于（2），选择④与选择⑤时比较，难易差异不大．能凭直觉选择容易的来处理，节约考试时间，也是能力的体现．本问的设计是一种尝试，试探考试后师生的反映如何）
19．（本小题满分12分）
解：（1）作出折叠后的四面体的直观图如图2．
………………………………………………………（4分）
（2）平面平面.
图2
证明如下：
在五边形中，，，这种垂直关系保持到四面体中，且，
则平面．
因为平面，所以平面平面．
，，，满足勾股定理，，则平面.
又因为平面，所以平面平面 ………………………………（8分）
（3）已知，．
如图3，取的中点，则
由（2）知，平面，则，，
图3
所以，是四面体外接球的球心，球半径，
所以，四面体外接球的体积 ……………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）当时，，，
则曲线在点处的切线的方程是，即
……………………………………………………………（4分）
（2）函数的定义域是.
当时，在上没有零点，不符合题意；
当时，
①当时，，；
当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，，
所以在上有零点.
②当时，，.
当时，；
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
．
又求得，
则在上有零点
综上，函数在定义域上有零点时，的取值范围是
……………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）由条件可得，，①
，②
联立①②解得，
所以椭圆的方程是. ……………………………………………………（5分）
（2）求得椭圆的右焦点坐标，
经过点且倾斜角等于的直线的方程是，与联立，
消去，整理得，，
从而得到.
点是椭圆的短轴端点，在点处的切线方程是.
设椭圆在点处的切线方程为，
即，与联立，
消去，整理得，
，
由相切得，解得.
从而得到椭圆在点处的切线方程为.
由解得两条切线的交点.
外接圆的圆心在的垂直平分线上，则.
，解得.
半径
所以外接圆的方程是 ………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）将极坐标方程化成直角坐标方程为
，
表示以点（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作，
将极坐标方程化成直角坐标方程为，
表示以点（直角坐标）为圆心、半径等于2的半圆弧（在直线上方，左端点在直线上），记作，
将极坐标方程化成直角坐标方程为，
表示以点（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作．
如图4，在网格坐标中分别作出三段圆弧，三段圆弧拼接而成的曲线就是所要求作的曲线（形如一朵云彩）.
图4
…………………………………………………………………………（5分）
学生不写说明（解答过程），只要图形正确即可评给5分.
（2）直线与曲线相切并恰好有两个切点，由于切线的倾斜角是锐角，
则与圆弧恰好各切于一点．
圆弧的圆心是，
由于两个圆弧半径相等，，则两段圆弧的公切线的斜率，
设切线的方程为，
圆心到切线的距离为，，
考虑圆弧的位置，只能取.
所以，所求切线的方程是，化为极坐标方程就是
…………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）
由，得，
∴的解集为. ……………………………………………………（5分）
（2）的最小值为，
若使，
则，
，
∴. ………………………………………………………………………（10分）
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