数学月考试题答案
1-5CDAAD 6-10CDCBC 11-12BD(每题 5 分)
13. 3 14. 4 15. ( ― 흅
ퟑ,ퟎ) ∪ (ퟎ,흅
ퟑ) 16. 퐚 ≤ ퟏ
풆 +ퟏ(每题 5 分)
17.因为函数 在区间（-2，0）上是增函数，
所以 在（-2，0）上恒成立…………4’
即 在（-2，0）上恒成立，……………6’
ퟐ
풙在（-2,0）单调递增 …………….7’
ퟐ
풙>-1…………………8’
所以퐚 ≥ ―ퟏ……………….10’
18(1)当 a＝1 时，f(x)＝x＋ln x，
∴f′(x)＝1＋ ＝ ．………….2’
∵ x∈[1，e]，
∴ f′(x)>0，……………3’
∴ f(x)在[1，e]上为增函数，……………4’
∴ f(x)min＝f(1)＝1．………….5’
(2)∵ f(x)≤0 即 ax＋ln x≤0 对 x∈[1，e]恒成立，
∴ a≤－ ，x∈[1，e]．…………………..6’
( ) ( )2 3f x x ax= −
( ) 23 6 0f x ax x−′ = ≥
2a x
≥令 g(x)＝－ ，x∈[1，e]，………………7’
则 g′(x)＝ ，…………………….9’
∵ x∈[1，e]，
∴ g′(x)≤0，当且仅当 x=e 时等号成立，
∴ g(x)在[1，e]上递减，………………….10,
∴ g(x)min＝g(e)＝ ， ………………11’,
∴ a≤－ ．…………………………..12,’
19.（1）若 a=1，퐟(퐱) = ퟏ
ퟐ풙ퟐ ―ퟐ풙 + 풍풏풙，导函数为풇′.(x)=x-2+ퟏ
풙
依题意，有 f(1)=-ퟑ
ퟐ,풇′(ퟏ) = ퟎ，
所以切线方程为퐲 = ― ퟑ
ퟐ……………………..2’
（2） ，
…………….3’
①当 时， ，由 ，得 ，
则函数 的增区间是（0,1），减区间是 ；………………..5’
②当 时，由 ，得 ，
再讨论两根的大小关系；
⒈当 时， ，由 ，得 或者 ，
1
e
−
21 ( 1) 1'( ) ( 1) ax a xf x ax a x x
− + += − + + =
( 1)( 1)'( ) ( 0)ax xf x xx
− −= >
0a ≤ ( 1) 0ax − < '( ) 0f x > 0 1x< <
( )f x (1, )+∞
0a > ( 1)( 1)'( ) 0ax xf x x
− −= = 1 2
11,x x a
= =
1a > 1 1a
< '( ) 0f x > 10 x a
< < 1x >则函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；…………..7’
⒉当 时， ，
则函数 的增区间是 ，没有减区间；……………….9’
⒊当 时， ，由 ，得 或者 ，
则函数 的增区间是（0,1）和 ，减区间是 ；……………..11’
综上，当 时，函数 的增区间是（0,1），减区间是 ；
当 时，函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；
当 时，函数 增区间是 ，没有减区间；
当 时 ， 函 数 的 增 区 间 是 （ 0,1 ） 和 ， 减 区 间 是
……………..12’
20.（1）因为 ，所以 .
所以풇′(1)=e-2
又 f(1)=e-2
所以曲线 在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(e-2)=(e-2)(x-1)
( )f x 1(0, )a
(1, )+∞ 1 ,1a
1a = 1 1a
=
( )f x (0, )+∞
0 1a< < 1 1a
> '( ) 0f x > 0 1x< < 1x a
>
( )f x 1 ,a
+∞
11, a
0a ≤ ( )f x (1, )+∞
1a > ( )f x 1(0, )a
(1, )+∞ 1 ,1a
1a = ( )f x (0, )+∞
0 1a< < ( )f x
1 ,a
+∞
11, a
( ) e 2xf x x= − ( ) e 2xf x′ = −
( )y f x= 即 y=(e-2)x………………….4’
（2）由题意得， ，
所以 ………………..5’
由 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增……………………..7’
所以 .
又 ， ，………………9’
若函数恰有两个零点，
则 ……………………….11’
解得 .
所以实数 的取值范围为 …………….12’
21.（1） ，则 为切线斜率．
又 ，∴切点为 ．∴曲线在 处切成方程为 ．
当 时， ，当 时， （易知 ）…………………2’
则切线与坐标轴围成三角形面积为ퟏ
ퟐ × ퟑ × | ―ퟑ
ퟐ풂 + ퟏ|=18
( ) e 2xg x x a= − −
( ) e 2xg x′ = −
( ) e 2 0xg x =′ − = ln2x =
1 ln2x− ≤ < ( ) 0g x′ < ( )g x [ )1,ln2−
ln2 1x< ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x ( ]ln2,1
( ) ( )min ln2 2 2ln2g x g a= = − −
( ) 11 e +2g a−− = − ( )1 e 2g a= − −
( )
( )
( )
11 e 2 0,
1 e 2 0,
ln2 2 2 2 0,
g a
g a
g ln a
− − = + − ≥
= − − ≥
= − − ( )1 3 2 02 2h e ′ = − ( )h x
( )h x ( ) 0
0 0 0 0 0 0ln 1 1 ln 1 0xf x x e x x x x= − − − = − − − =
( ) ( )0 0h x h x≥ =
( ) ( )2 xf x x e= − ( ) ( )' 1 xf x x e= −
( ),1x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
( ) ( )min 1f x f e= = −（2）证明：∵ ，都有 ，
∴ 即 ，…………….3’
设 ， ，
∴
，…………4’
令 ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，………………..5’
∵ ， ，
∴存在唯一 使得 ，………………6’
∴当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
∴
，………………9’
∵ ， ，
1 ,12x ∀ ∈
( )lnx x a f x− + >
( ) lna f x x x> − + ( )2 lnxa x e x x> − − +
( ) ( )2 lnxg x x e x x= − − + 1 ,12x ∈
( ) ( ) ( )1 1' 1 1 1x x xg x x e x ex x
−= − − + = − −
( ) ( )1 11 1
x
x xex e xx x
− = − − = − ⋅
( ) 1xh x xe= − 1 ,12x ∈
( ) ( )' 1 0xh x x e= + >
( )h x 1 ,12
( )1 1 0h e= − > 1 1 02 2
eh = −
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