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数学月考试题答案 1-5CDAAD 6-10CDCBC 11-12BD(每题 5 分) 13. 3 14. 4 15. ( ― 흅 ퟑ,ퟎ) ∪ (ퟎ,흅 ퟑ) 16. 퐚 ≤ ퟏ 풆 +ퟏ(每题 5 分) 17.因为函数 在区间（-2，0）上是增函数， 所以 在（-2，0）上恒成立…………4’ 即 在（-2，0）上恒成立，……………6’ ퟐ 풙在（-2,0）单调递增 …………….7’ ퟐ 풙>-1…………………8’ 所以퐚 ≥ ―ퟏ……………….10’ 18(1)当 a＝1 时，f(x)＝x＋ln x， ∴f′(x)＝1＋ ＝ ．………….2’ ∵ x∈[1，e]， ∴ f′(x)>0，……………3’ ∴ f(x)在[1，e]上为增函数，……………4’ ∴ f(x)min＝f(1)＝1．………….5’ (2)∵ f(x)≤0 即 ax＋ln x≤0 对 x∈[1，e]恒成立， ∴ a≤－ ，x∈[1，e]．…………………..6’ ( ) ( )2 3f x x ax= − ( ) 23 6 0f x ax x−′ = ≥ 2a x ≥令 g(x)＝－ ，x∈[1，e]，………………7’ 则 g′(x)＝ ，…………………….9’ ∵ x∈[1，e]， ∴ g′(x)≤0，当且仅当 x=e 时等号成立， ∴ g(x)在[1，e]上递减，………………….10, ∴ g(x)min＝g(e)＝ ， ………………11’, ∴ a≤－ ．…………………………..12,’ 19.（1）若 a=1，퐟(퐱) = ퟏ ퟐ풙ퟐ ―ퟐ풙 + 풍풏풙，导函数为풇′.(x)=x-2+ퟏ 풙 依题意，有 f(1)=-ퟑ ퟐ,풇′(ퟏ) = ퟎ， 所以切线方程为퐲 = ― ퟑ ퟐ……………………..2’ （2） ， …………….3’ ①当 时， ，由 ，得 ， 则函数 的增区间是（0,1），减区间是 ；………………..5’ ②当 时，由 ，得 ， 再讨论两根的大小关系； ⒈当 时， ，由 ，得 或者 ， 1 e − 21 ( 1) 1'( ) ( 1) ax a xf x ax a x x − + += − + + = ( 1)( 1)'( ) ( 0)ax xf x xx − −= > 0a ≤ ( 1) 0ax − < '( ) 0f x > 0 1x< < ( )f x (1, )+∞ 0a > ( 1)( 1)'( ) 0ax xf x x − −= = 1 2 11,x x a = = 1a > 1 1a < '( ) 0f x > 10 x a < < 1x >则函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；…………..7’ ⒉当 时， ， 则函数 的增区间是 ，没有减区间；……………….9’ ⒊当 时， ，由 ，得 或者 ， 则函数 的增区间是（0,1）和 ，减区间是 ；……………..11’ 综上，当 时，函数 的增区间是（0,1），减区间是 ； 当 时，函数 的增区间是 和 ，减区间是 ； 当 时，函数 增区间是 ，没有减区间； 当 时 ， 函 数 的 增 区 间 是 （ 0,1 ） 和 ， 减 区 间 是 ……………..12’ 20.（1）因为 ，所以 . 所以풇′(1)=e-2 又 f(1)=e-2 所以曲线 在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(e-2)=(e-2)(x-1) ( )f x 1(0, )a (1, )+∞ 1 ,1a      1a = 1 1a = ( )f x (0, )+∞ 0 1a< < 1 1a > '( ) 0f x > 0 1x< < 1x a > ( )f x 1 ,a  +∞   11, a      0a ≤ ( )f x (1, )+∞ 1a > ( )f x 1(0, )a (1, )+∞ 1 ,1a      1a = ( )f x (0, )+∞ 0 1a< < ( )f x 1 ,a  +∞   11, a      ( ) e 2xf x x= − ( ) e 2xf x′ = − ( )y f x= 即 y=(e-2)x………………….4’ （2）由题意得， ， 所以 ………………..5’ 由 ，解得 ， 故当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增……………………..7’ 所以 . 又 ， ，………………9’ 若函数恰有两个零点， 则 ……………………….11’ 解得 . 所以实数 的取值范围为 …………….12’ 21.（1） ，则 为切线斜率． 又 ，∴切点为 ．∴曲线在 处切成方程为 ． 当 时， ，当 时， （易知 ）…………………2’ 则切线与坐标轴围成三角形面积为ퟏ ퟐ × ퟑ × | ―ퟑ ퟐ풂 + ퟏ|=18 ( ) e 2xg x x a= − − ( ) e 2xg x′ = − ( ) e 2 0xg x =′ − = ln2x = 1 ln2x− ≤ < ( ) 0g x′ < ( )g x [ )1,ln2− ln2 1x< ≤ ( ) 0g x′ > ( )g x ( ]ln2,1 ( ) ( )min ln2 2 2ln2g x g a= = − − ( ) 11 e +2g a−− = − ( )1 e 2g a= − − ( ) ( ) ( ) 11 e 2 0, 1 e 2 0, ln2 2 2 2 0, g a g a g ln a − − = + − ≥  = − − ≥  = − − ( )1 3 2 02 2h e ′ = − ( )h x ( )h x ( ) 0 0 0 0 0 0 0ln 1 1 ln 1 0xf x x e x x x x= − − − = − − − = ( ) ( )0 0h x h x≥ = ( ) ( )2 xf x x e= − ( ) ( )' 1 xf x x e= − ( ),1x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( ) ( )min 1f x f e= = −（2）证明：∵ ，都有 ， ∴ 即 ，…………….3’ 设 ， ， ∴ ，…………4’ 令 ， ，∴ ， ∴ 在 上单调递增，………………..5’ ∵ ， ， ∴存在唯一 使得 ，………………6’ ∴当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， ∴ ，………………9’ ∵ ， ， 1 ,12x  ∀ ∈   ( )lnx x a f x− + > ( ) lna f x x x> − + ( )2 lnxa x e x x> − − + ( ) ( )2 lnxg x x e x x= − − + 1 ,12x  ∈   ( ) ( ) ( )1 1' 1 1 1x x xg x x e x ex x −= − − + = − − ( ) ( )1 11 1 x x xex e xx x − = − − = − ⋅   ( ) 1xh x xe= − 1 ,12x  ∈   ( ) ( )' 1 0xh x x e= + > ( )h x 1 ,12      ( )1 1 0h e= − > 1 1 02 2 eh  = −