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高三数学学科 试题 第1页（共 4 页） 舟山中学高三数学学科 3 月月考卷 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集  0,1,2,3,4,5,6,7U = ，集合  3,4,5,6A = ，集合  1,3,4B = ，则集合( ) ( )UUAB= A． 0,1,2,5,6,7 B． 1 C． 0,2,7 D． 5,6 2．已知双曲线 22 221 ( 0, 0)xy abab− =   的渐近线方程为 3yx= ，则双曲线的离心率是 A． 10 B． 10 10 C． 3 10 10 D．3 10 3．若直线 2y ax a=+与不等式组 60 3 30 xy x xy − +     + −  表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是 A． 90, 5   B． 0,9 C． )0,+ D．( ,9− 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积（单位： 3cm ）是 A．162 B．126 C．144 D．108 36 2+ 5．已知平面 ⊥平面  ，且 l= ， a  ，b  ，则“ ab⊥ ”是 “ al⊥ 或 bl⊥ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数 sin 2(1 ) | |1exyx=−+ 的图象可能是 7．已知 01a，随机变量 ,XY的分布列如下： 则下列正确的是 A． ( ) 2E Y a= B． ( ) ( )E X E Y= C． ( ) 1 2DY  D． ( ) ( )D X D Y= 8．已知 C 为 Rt ABD 斜边 BD 上一点，且 ACD 为等边三角形，现将 ABC 沿 AC 翻折至 AB C ．若在三棱锥 B ACD− 中，直线 CB 和直线 AB与平面 ACD 所成角分 别为 ,，则 A． 0  B． 2   C． 23   D． 3 X 0 1 2 P ( )21 a− ( )21aa− 2a Y 1 0 1− P ( )21 a− ( )21aa− A B D B' C 第 8 题图 3 6 正视图 6 侧视图 俯视图 6 第 4 题图 x y x3-3 O A. x y x3-3 O B. x y x3-3 O D. x y x3-3 O C. 高三数学学科 试题 第2页（共 4 页） 9．已知 10 eab   ，则下列正确的是 A． b b a ab a b a   B． b a b aa a b b   C． b a b ab b a a   D．以上均不正确 10．已知数列 na 满足： ( )110, ln e 1na nna a a+= = + − （ *Nn ），前 n 项和为 nS ( 参考数据： ln 2 0.693,ln 3 1.099)，则下列选项中错误．．的是 A． 21na − 是单调递增数列， 2na 是单调递减数列 B． 1 ln 3nnaa++ C． 2020 666S  D． 2 1 2nnaa−  非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．若复数 2i 1iz += − (i 为虚数单位)，则 z = ． 12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六 朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6 天共走了 378里．”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路． 13．在二项式 6 2 1x x − 的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 ． 14．设椭圆 2 2:12 xCy+=的左焦点为 F ，直线 : 2 0l x y−+=．动点P 在椭圆C 上，记点 到直线l 的距离为d ，则 ||PF d− 的最大值是 ． 15．在 ΔABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 2CB= ，43bc= ， 1a = ，则sin A = ， 的面积是 ． 16．已知 ,Rxy ，且满足 4 2 1 0x y xy+ + + = ，则 22 4x y x y+ + + 的最小值是 ． 17．已知平面向量 3, , , 2, 3, 4, 2a b c a b c a b= = =  = ，则 a c b c +  的最大值是 ，最小值是 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) 2 1sin cos 2 +3 2 6f x x x   = + +       . （Ⅰ）求 24   f 的值；（Ⅱ）求函数 ( )y f x= 的最小正周期及其单调递增区间． 19．（本小题满分 15 分）如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，底面 ABCD 是菱形， 3ABC =， 1 6B BD =， 11B BA B BC =  ， 1122AB A B==， 1 3BB= ． （Ⅰ）求证：直线 AC ⊥平面 1BDB ； （Ⅱ）求直线 11AB 与平面 1ACC 所成角的正弦值． 第 19 题图 高三数学学科 试题 第3页（共 4 页） 20．（本小题满分 15 分）已知等比数列 na 的前n 项和为 nS ，满足 4212aa−=， 4 2 323S S S+ = ，数列 nb 满足 1 0b = ，且 ( ) ( )( ) ( )1 11 11nnn b n b n n+ − + =+ ++ （ *Nn ）． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）设数列 n n b a   前n 项和为 nT ，证明： 2nT  （ ）． 21．（本小题满分 15 分）已知抛物线 2 2x py= （ 0p  ）上一点 R ( ,2)m 到它的准线的距离为3 ． 若点 ,,A B C 分别 在抛物线上，且点 A 、C 在 y 轴右侧，点 B 在 y 轴左侧， ABC 的重心G 在 y 轴上，直线 AB 交 y 轴于点M 且满足 32AM BM ，直线 BC 交 y 轴于点 N ．记 ,,ABC AMG CNG   的面积分别为 1 2 3,,S S S ， （Ⅰ）求 p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求 1 23 S SS+ 的取值范围． 第 21 题图高三数学学科 试题 第4页（共 4 页） 22．（本小题满分 15 分）已知函数 ( ) ( )e elnf x k x kx= − + ，其中 0k  ． ( ) exgx= ． （Ⅰ）求函数 ( )fx的单调区间； （Ⅱ）证明：当 2e 2e ek  + 时，存在唯一的整数 0x ，使得 ( ) ( )00f x g x ． （注： e 2.71828= 为自然对数的底数，且 ln 2 0.693 ，ln3 1.099 ．）