高三数学学科 试题 第1页（共 4 页）
舟山中学高三数学学科 3 月月考卷
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集 0,1,2,3,4,5,6,7U = ，集合 3,4,5,6A = ，集合 1,3,4B = ，则集合( ) ( )UUAB=
A． 0,1,2,5,6,7 B． 1 C． 0,2,7 D． 5,6
2．已知双曲线
22
221 ( 0, 0)xy abab− = 的渐近线方程为 3yx= ，则双曲线的离心率是
A． 10 B． 10
10
C． 3 10
10
D．3 10
3．若直线 2y ax a=+与不等式组
60
3
30
xy
x
xy
− +
+ −
表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是
A． 90, 5
B． 0,9 C． )0,+ D．( ,9−
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积（单位： 3cm ）是
A．162 B．126
C．144 D．108 36 2+
5．已知平面 ⊥平面 ，且 l= ， a ，b ，则“ ab⊥ ”是
“ al⊥ 或 bl⊥ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数 sin
2(1 ) | |1exyx=−+
的图象可能是
7．已知 01a，随机变量 ,XY的分布列如下：
则下列正确的是
A． ( ) 2E Y a= B． ( ) ( )E X E Y=
C． ( ) 1
2DY D． ( ) ( )D X D Y=
8．已知 C 为 Rt ABD 斜边 BD 上一点，且 ACD 为等边三角形，现将 ABC 沿 AC
翻折至 AB C ．若在三棱锥 B ACD− 中，直线 CB 和直线 AB与平面 ACD 所成角分
别为 ,，则
A． 0 B． 2
C． 23 D． 3
X 0 1 2
P ( )21 a− ( )21aa− 2a
Y 1 0 1−
P ( )21 a− ( )21aa−
A
B D
B'
C
第 8 题图
3
6
正视图
6
侧视图
俯视图
6
第 4 题图
x
y
x3-3 O
A.
x
y
x3-3 O
B.
x
y
x3-3 O
D.
x
y
x3-3 O
C. 高三数学学科 试题 第2页（共 4 页）
9．已知 10 eab ，则下列正确的是
A． b b a ab a b a B． b a b aa a b b
C． b a b ab b a a D．以上均不正确
10．已知数列 na 满足： ( )110, ln e 1na
nna a a+= = + − （ *Nn ），前 n 项和为 nS
( 参考数据： ln 2 0.693,ln 3 1.099)，则下列选项中错误．．的是
A． 21na − 是单调递增数列， 2na 是单调递减数列 B． 1 ln 3nnaa++
C． 2020 666S D． 2 1 2nnaa−
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若复数 2i
1iz += − (i 为虚数单位)，则 z = ．
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六
朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6 天共走了
378里．”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路．
13．在二项式
6
2 1x x
−
的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 ．
14．设椭圆
2
2:12
xCy+=的左焦点为 F ，直线 : 2 0l x y−+=．动点P 在椭圆C 上，记点 到直线l 的距离为d ，则
||PF d− 的最大值是 ．
15．在 ΔABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 2CB= ，43bc= ， 1a = ，则sin A = ，
的面积是 ．
16．已知 ,Rxy ，且满足 4 2 1 0x y xy+ + + = ，则 22 4x y x y+ + + 的最小值是 ．
17．已知平面向量 3, , , 2, 3, 4, 2a b c a b c a b= = = = ，则 a c b c + 的最大值是 ，最小值是 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) 2 1sin cos 2 +3 2 6f x x x = + +
.
（Ⅰ）求
24
f 的值；（Ⅱ）求函数 ( )y f x= 的最小正周期及其单调递增区间．
19．（本小题满分 15 分）如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，底面 ABCD 是菱形，
3ABC =， 1 6B BD =，
11B BA B BC = ， 1122AB A B==， 1 3BB= ．
（Ⅰ）求证：直线 AC ⊥平面 1BDB ；
（Ⅱ）求直线 11AB 与平面 1ACC 所成角的正弦值．
第 19 题图 高三数学学科 试题 第3页（共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）已知等比数列 na 的前n 项和为 nS ，满足 4212aa−=， 4 2 323S S S+ = ，数列 nb 满足
1 0b = ，且 ( ) ( )( ) ( )1 11 11nnn b n b n n+ − + =+ ++ （ *Nn ）．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 n
n
b
a
前n 项和为 nT ，证明： 2nT （ ）．
21．（本小题满分 15 分）已知抛物线 2 2x py= （ 0p ）上一点 R ( ,2)m 到它的准线的距离为3 ． 若点 ,,A B C 分别
在抛物线上，且点 A 、C 在 y 轴右侧，点 B 在 y 轴左侧， ABC 的重心G 在 y 轴上，直线 AB 交 y 轴于点M 且满足
32AM BM ，直线 BC 交 y 轴于点 N ．记 ,,ABC AMG CNG 的面积分别为 1 2 3,,S S S ，
（Ⅰ）求 p 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 1
23
S
SS+
的取值范围．
第 21 题图高三数学学科 试题 第4页（共 4 页）
22．（本小题满分 15 分）已知函数 ( ) ( )e elnf x k x kx= − + ，其中 0k ． ( ) exgx= ．
（Ⅰ）求函数 ( )fx的单调区间；
（Ⅱ）证明：当 2e 2e ek + 时，存在唯一的整数 0x ，使得 ( ) ( )00f x g x ．
（注： e 2.71828= 为自然对数的底数，且 ln 2 0.693 ，ln3 1.099 ．）
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