4.3 平行线的性质
一．选择题（共 5 小题）
1．已知直线 m∥n，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（∠ABC=30°），其
中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若∠1=20°，则∠2 的度数为（ ）
（第 1 题图）
A．20° B．30° C．45° D．50°
2．如图，直线 a∥b，直线 l 与 a、b 分别相交于 A、B 两点，过点 A 作直线 l 的垂线交直线
b 于点 C，若∠1=58°，则∠2 的度数为（ ）
（第 2 题图）
A．58° B．42° C．32° D．28°
3．如图，已知直线 a、b 被直线 c 所截，那么∠1 的同位角是（ ）
（第 3 题图）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BC∥DE，则∠ACE 的度数为（ ）
（第 4 题图）A．10° B．15° C．20° D．25°
5．如图，直线 AB∥CD，∠C=44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ）
（第 5 题图）
A．132° B．134° C．136° D．138°
二．填空题（共 10 小题）
6．如图，a∥b，∠1=110°，∠3=40°，则∠2= °．
（第 6 题图）
7．一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面 AE 于 A，CD 平行于地面 AE，那么∠ABC+∠BCD=
度．
（第 7 题图）
8．已知直线 a∥b，点 M 到直线 a 的距离是 4cm，到直线 b 的距离是 2cm，那么直线 a 和直
线 b 之间的距离为 ．
9．如图，直线 a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3 等于 ．（第 9 题图）
10．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2 的大小是 ．
（第 10 题图）
三．解答题（共 5 小题）
11．如图 1，E 是直线 AB，CD 内部一点，AB∥CD，连接 EA，ED．
（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED 等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED 等于多少度？
③猜想图 1 中∠AED、∠EAB、∠EDC 的关系并说明理由．
（2）拓展应用，如图 2，线段 FE 与长方形 ABCD 的边 AB 交于点 E，与边 CD 交于点 F．图 2
中①②分别是被线段 FE 隔开的 2 个区域（不含边界），P 是位于以上两个区域内的一点，
猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF 的关系（不要求说明理由）
（第 11 题图）12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，
并说明理由．
（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1 与∠2 的关系是 ；
证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1 与∠2 的关系是 ；
证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那
么这两个角 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的 3 倍少 60°，则这两个角分别是
多少度？
解：
（第 12 题图）
13．已知，直线 AB∥CD，E 为 AB、CD 间的一点，连接 EA、EC．
（1）如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC= °．
（2）如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC= °．
（3）如图③，若∠A=α，∠C=β，则 α，β 与∠AEC 之间有何等量关系．并简要说明．（第 13 题图）
14．已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D 为 BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC，E 为
射线 BM 上一点．
（第 14 题图）
（1）如图 1，连接 CE，
①若 CE∥AB，求∠BEC 的度数；
②若 CE 平分∠ACD，求∠BEC 的度数．
（2）若直线 CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数．15．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论
进行说理．
（第 15 题图）参考答案
一．1．D 2．C 3．A 4．B 5．B
二．6．70 7．270 8．6cm 或 2cm 9．80° 10．60°
三．11．解：（1）①过点 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点 E 作 EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）如答图 2，当点 P 在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）﹣180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°﹣ （ ∠PEF+∠PFE ） =180°﹣ （ ∠PEB+∠PFC ） +180°=360°﹣
（∠PEB+∠PFC）；
当点 P 在区域②时，如答图 3 所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
（第 11 题答图）
12．解：（1）∠1=∠2．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2；
（2）∠1+∠2=180°．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（4）设一个角的度数为 x，则另一个角的度数为 3x﹣60°，
当 x=3x﹣60°，解得 x=30°，则这两个角的度数分别为 30°，30°；
当 x+3x﹣60°=180°，解得 x=60°，则这两个角的度数分别为 60°，120°．
13．解：如答图，过点 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A=20°，∠C=40°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，
∴∠AEC=∠1+∠2=60°；（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠1+∠2+x°+y°=360°，
∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A=α，∠C=β，
∴∠1+∠A=180°，∠2=∠C=β，
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α，
∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β．
（第 13 题答图）
14．解：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM 平分∠ABC，
∴∠ABE= ABC=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE=40°；
②∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，
∵BM 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠CBE= ABC=40°，∠ECD= ACD=70°，
∴∠BEC=∠ECD﹣∠CBE=30°；
（2）①如答图 1，当 CE⊥BC 时，
∵∠CBE=40°，
∴∠BEC=50°；
②如答图 2，当 CE⊥AB 于 F 时，∵∠ABE=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°，
③如图 3，当 CE⊥AC 时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°﹣40°﹣40°﹣90°=10°．
（第 14 题答图）
15．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
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