4武昌区2020届高三4月文数试题（答案定稿）.pdf

高三文科数学 第 1 页（共 5 页） 武昌区 2020 届高三年级四月调研测试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设全集U = R ，集合 A = {x | 0 < x ≤ 2}， B = {x | x − 1 < 0} ，则 A  B = A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (−∞,2] D. (−∞,1] 2．已知复数 z = ，则复数 z 的虚部为 A. B. C. i D. i 3．已知双曲线C : = 1(a > 0, b > 0) 的焦距为 8，一条渐近线方程为 y = x ，则C A. B. C. D. 4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人 数是 A. 45 B. 48 C. 54 D. 60 5．已知l ， m 是两条不同的直线， m ⊥ 平面α ，则“ l // α ”是“ l ⊥ m ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量 a = (1,−2) ，b = (3,−1) ，则 A. a // b B. a ⊥ b C. a // ( a−b ) D. a ⊥ ( a −b ) 5 3 4i+ 4 5 4 5 − 4 5 4 5 − 2 2 2 2 x y a b − 3 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 2 2 116 48 x y− = 2 2 148 16 x y− =高三文科数学 第 2 页（共 5 页） 2 3 2 3 7．已知点(m,8) 在幂函数 f ( x) = (m − 1)xn 的图像上，设a = f () ，b = f (ln π) ，c = f ( n ) ， 则 A. b < a < c B. a < b < c C.b < c < a D.a < c < b 8．函数 的图像大致为 A. B. C. D. 9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分 钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海 轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°， 那么B，C 两点间的距离是 A. 6 海里 B. 6 海里 C. 8 海里 D. 8 海里 10．已知三棱锥 P − ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA = ， PB = ， AB = 4 ， CA = CB = ，面 PAB ⊥ 面 ABC ，则球O 的表面积为 A. 10π 3 . B. C. D. 48ln | | ( ) e ex x x xf x − − = + 25 6 π 40 9 π 50 3 π 2 14 10高三文科数学 第 3 页（共 5 页） 3 11．已知函数 f ( x) = Asin(ωx + ϕ )( A > 0,ω > 0,0 < ϕ < ) 的部分图像如图所示，则 f ( ) = A. 2 − 6 4 B. 2 + 6 4 C. 6 − 2 4 D. 6 + 2 2 12．已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x) = f (2 − x) ，当 x ∈[0, 1] 时， f ( x) = x ，则函数 F ( x) = f ( x) + x + 4 在区间[−10, 9] 上零点的个数为 1 − 2x A．9 B．10 C．18 D．20 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．直线mx − ny − 1 = 0(m > 0, n > 0) 过圆C : x2 + y 2 − 2x + 2 y − 1 = 0 的圆心，则 的最 小值是 . 14．从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽 得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 . 15．给出以下式子： ○   ○ ① tan 25°+tan 35°+ tan 25° tan 35° ；② 2(sin 35° cos 25°+ cos 35° cos 65°) ；③ . 其中，结果为 的式子的序号是 . 16．已知椭圆C : =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1 ，F 2 ，椭圆的焦距为2c ， 过C 外一点 P(c,2c) 作线段 PF1 ， PF2 分别交椭圆C 于点 A 、 B ，若| PA |=| AF1 | ，则 | PF2 | = ．| BF2 | 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题 12 分） 已知等差数列{an}的各项均为正数， Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1， a4a5 = 11 . （1）求数列{an}的通项 an； （2）设bn = a n⋅ 3n ，求数列{b n} 的前 n 项和Tn 2 π 3 4 π 1 1 m n + 1 tan15 1 tan15 + ° − ° 2 2 2 2 x y a b + 3高三文科数学 第 4 页（共 5 页） 18．（本题 12 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A 丄平面 ABC， ∠ACB = 90 ，AC=CB=C1C=1, M， N 分别是 AB，A1C 的中点. (1)求证：直线 MN ⊥平面 ACB1； (2)求点 C1 到平面 B1MC 的距离. 19．（本题 12 分） 某校共有学生 2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均 体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位： 小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时，请完成每周 平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均 体育锻炼时间与性别有关”? 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计 附： K 2 n(ad − bc)2 . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) P（ K 2 ≥ k ） 0 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 =高三文科数学 第 5 页（共 5 页） 20．（本题 12 分） 已知 A 是抛物线 E ： y 2 = 2 px( p > 0) 上的一点，以点 A 和点 B(2, 0) 为直径两端点的圆 C 交直线 x = 1 于 M ， N 两点. （1）若| MN |= 2 ，求抛物线 E 的方程； （2）若0 < p < 1 ，抛物线 E 与圆( x − 5)2 + y 2 = 9 在 x 轴上方的交点为 P ，Q ，点G 为 PQ 的中点， O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围. 21．（本题 12 分） 已知函数 f ( x) = x2 + (t − 2)x − t ln x + 2 . （1）若 x = 2 是 f ( x) 的极值点，求 f ( x) 的极大值； （2）求实数t 的范围，使得 f ( x) ≥ 2 恒成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 （ t为参数），以坐标原 点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ 2 − 4ρ cosθ = 3 . （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）直线l 与圆C 交于 A ， B 两点，点 P(2,1) ，求| PA | ⋅ | PB | 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） 已知函数 f ( x) =| x − a | ． （1）当a = −1 时，求不等式 f ( x) ≤| 2x + 1 | −1 的解集； （2）若函数 g( x) = f ( x)− | x + 3 | 的值域为 A ，且[−2,1] ⊆ A ，求a 的取值范围. 22 2 21 3 x t t t  = +  = −