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武昌区 2020 届高三年级四月调研测试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R ，集合 A = {x | 0 < x ≤ 2}， B = {x | x − 1 < 0} ，则 A B =
A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (−∞,2] D. (−∞,1]
2．已知复数 z = ，则复数 z 的虚部为
A. B. C. i D. i
3．已知双曲线C : = 1(a > 0, b > 0) 的焦距为 8，一条渐近线方程为 y = x ，则C
A. B. C. D.
4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人
数是
A. 45
B. 48
C. 54
D. 60
5．已知l ， m 是两条不同的直线， m ⊥ 平面α ，则“ l // α ”是“ l ⊥ m ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量 a = (1,−2) ，b = (3,−1) ，则
A. a // b B. a ⊥ b C. a // ( a−b ) D. a ⊥ ( a −b )
5
3 4i+
4
5
4
5
− 4
5
4
5
−
2 2
2 2
x y
a b
− 3
2 2
14 12
x y− =
2 2
112 4
x y− =
2 2
116 48
x y− =
2 2
148 16
x y− =高三文科数学 第 2 页（共 5 页）
2 3
2 3
7．已知点(m,8) 在幂函数 f ( x) = (m − 1)xn 的图像上，设a = f () ，b = f (ln π) ，c = f ( n ) ，
则
A. b < a < c B. a < b < c C.b < c < a D.a < c < b
8．函数 的图像大致为
A. B.
C. D.
9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分
钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海
轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，
在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，
那么B，C 两点间的距离是
A. 6 海里 B. 6 海里
C. 8 海里 D. 8 海里
10．已知三棱锥 P − ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA = ， PB = ， AB = 4 ，
CA = CB = ，面 PAB ⊥ 面 ABC ，则球O 的表面积为
A.
10π
3 . B. C. D.
48ln | |
( ) e ex x
x xf x −
−
= +
25
6
π 40
9
π 50
3
π
2 14
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3
11．已知函数 f ( x) = Asin(ωx + ϕ )( A > 0,ω > 0,0 < ϕ < ) 的部分图像如图所示，则 f ( ) =
A. 2 − 6
4
B. 2 + 6
4
C. 6 − 2
4
D. 6 + 2
2
12．已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x) = f (2 − x) ，当 x ∈[0, 1] 时，
f ( x) = x ，则函数 F ( x) = f ( x) + x + 4 在区间[−10, 9] 上零点的个数为
1 − 2x
A．9 B．10 C．18 D．20
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．直线mx − ny − 1 = 0(m > 0, n > 0) 过圆C : x2 + y 2 − 2x + 2 y − 1 = 0 的圆心，则 的最
小值是 .
14．从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽
得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 .
15．给出以下式子： ○
○
① tan 25°+tan 35°+ tan 25° tan 35° ；② 2(sin 35° cos 25°+ cos 35° cos 65°) ；③ .
其中，结果为 的式子的序号是 .
16．已知椭圆C : =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1 ，F 2 ，椭圆的焦距为2c ，
过C 外一点 P(c,2c) 作线段 PF1 ， PF2 分别交椭圆C 于点 A 、 B ，若| PA |=| AF1 | ，则
| PF2 | = ．| BF2 |
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题 12 分）
已知等差数列{an}的各项均为正数， Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1， a4a5 = 11 .
（1）求数列{an}的通项 an；
（2）设bn = a n⋅ 3n ，求数列{b n} 的前 n 项和Tn
2
π 3
4
π
1 1
m n
+
1 tan15
1 tan15
+ °
− °
2 2
2 2
x y
a b
+
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18．（本题 12 分）
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A 丄平面 ABC， ∠ACB = 90 ，AC=CB=C1C=1, M，
N 分别是 AB，A1C 的中点.
(1)求证：直线 MN ⊥平面 ACB1；
(2)求点 C1 到平面 B1MC 的距离.
19．（本题 12 分）
某校共有学生 2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均
体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位：
小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6]
频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05
若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时，请完成每周
平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均
体育锻炼时间与性别有关”?
男生 女生 总计
每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时
每周平均体育锻炼时间超过 2 小时
总计
附： K 2 n(ad − bc)2
.
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
P（ K 2 ≥ k ）
0 0.100 0.050 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
=高三文科数学 第 5 页（共 5 页）
20．（本题 12 分）
已知 A 是抛物线 E ： y 2 = 2 px( p > 0) 上的一点，以点 A 和点 B(2, 0) 为直径两端点的圆
C 交直线 x = 1 于 M ， N 两点.
（1）若| MN |= 2 ，求抛物线 E 的方程；
（2）若0 < p < 1 ，抛物线 E 与圆( x − 5)2 + y 2 = 9 在 x 轴上方的交点为 P ，Q ，点G 为
PQ 的中点， O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围.
21．（本题 12 分）
已知函数 f ( x) = x2 + (t − 2)x − t ln x + 2 .
（1）若 x = 2 是 f ( x) 的极值点，求 f ( x) 的极大值；
（2）求实数t 的范围，使得 f ( x) ≥ 2 恒成立.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 （ t为参数），以坐标原
点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ 2 − 4ρ cosθ = 3 .
（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与圆C 交于 A ， B 两点，点 P(2,1) ，求| PA | ⋅ | PB | 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
已知函数 f ( x) =| x − a | ．
（1）当a = −1 时，求不等式 f ( x) ≤| 2x + 1 | −1 的解集；
（2）若函数 g( x) = f ( x)− | x + 3 | 的值域为 A ，且[−2,1] ⊆ A ，求a 的取值范围.
22 2
21 3
x t
t t
= +
= −
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