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第 1 页 共 5 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学试题（文）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B C C B D D B C B D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 4 14. 1 2 15. 3 3 16. +1m 三、解答题（共 70 分） （一）必考题 17. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 0.002 20 0.006 20 20 0.012 20 0.010 20 20 0.002 20 0.002 20 1aa                ， 解得 0.008a  ，.................................................................................................................2 分 设中位数为110 x ，则 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 0.5x        ，解得 15x  ， ∴中位数是 125. ................................................................................................4 分 （Ⅱ）由  175 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 20 98         . ∴估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. ...............................................6 分 （Ⅲ）在区间 150,170 中有 28 人，在区间 170,190 中有 7 人，在区间 190,210 中有 7 人， 按分层抽样抽取 6 人，则从 抽取 4 人， 和 各抽取 1 人. .....8 分 设从 抽取 1 2 3 4, , ,A A A A ，从 抽取 B，从 抽取 C， 则从 6 人中抽取 2 人的情况有： 1 2 1 3 1 4 1 1 2 3 2 4 2 2 3 4 3 3 4 4, , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A A A B AC A A A A A B A C A A A B A C A B A C BC 共 15 种情况， 它们是等可能的，其中满足两人均来自区间 的有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , ,A A A A A A A A A A A A 共 有 6 种情况， .......................................................................11 分 ∴ 62 15 5P ， ∴两人均来自区间 150,170 的概率为 2 5 . .......................................................................12 分 第 2 页 共 5 页 18.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵2 2 π 1cos sin( ) cos3 6 2CC     ，∴ π 1sin( ) cos62CC   ， ........................1 分 ∴ 1 3 1cos sin cos2 2 2C C C   ，∴ 3 1 1sin cos2 2 2CC， ......................................3 分 ∴ π 1sin( )62C ，.....................................................................................................................5 分 而C 为三角形内角，∴ π 3C  . .............................................................................................6 分 （Ⅱ）由 ABC 的面积为 33 2 及 3C  ，得 1 3 3sin2 3 2ab   ，....................................7 分 化简得 6ab  ， .......................................................................8 分 又 3c  ,由余弦定理，得 222 cos 9a b ab C   ，化简得 2215ab， ...................10 分 所以 33ab ， .......................................................................11 分 所以 1 1 3 2b a ba b a    . .....................................................................12 分 19.（本小题满分 12 分） 证明（Ⅰ）由已知得 1 22AC BC ， 1 2A D BD CD   ，......................................1 分 在三棱锥 1A BCD 中， 点G 是 1AB中点， 1DG A B， 1CG A B ， =DG CG G又 ，.............................................................3 分 1A B DGC平面 ，........................................................................................................4 分 1M N AC BC又 点 、 分别是 、 的中点 1MN A B ， MN DGC平面 . .........................................................................................................6 分 解（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1 ,CD A D CD BD，且 1 =,A D BD D 1CD A DG平面 ， .............................................................8 分 0 1 60A DB又， 1A DB 是等边三角形， 1DG A B， 1 2AB ， 11 1 12AG A B， 3DG  ，.......................................................10 分 1 1 1 1 3132 2 2A DGS AG DG       ， 第 3 页 共 5 页 1 1 1 1 1 3 323 3 2 3G A DC C A DG A DGV V S CD          . ........................................................12 分 20.（本小题满分 12 分） 解（Ⅰ）   e cosxf x x∵ ，则   e sinxf x x  ，    0 0, 0 1ff∴ . ..................3 分 因此，函数 ()y f x 在点   0, 0f 处的切线方程为 yx ，即 0xy；.........................5 分 （Ⅱ）当 0x  时， e 1 cosx x ，此时，   e cos 0xf x x   ， 所以，函数 ()y f x 在区间 0, 上没有零点；........................................................6 分 又  00f  ，下面只需证明函数 在区间 π ,02  上有且只有一个零点. ............7 分   e sinxf x x  ，构造函数   e sinxg x x ，则   e cosxg x x  ， 当 π 02 x   时，   e cos 0xg x x    ，所以，函数 ()y f x 在区间 π ,02  上单调递增， π 2π e 1 02f      ∵ ，  0 1 0f  ， 由零点存在定理知，存在 π ,02t  ，使得   0ft  ，..................................................9 分 当 π 2 xt   时，   0fx  ，当 0tx时，   0fx  . 所以，函数 ()y f x 在 xt 处取得极小值，则    00f t f， 又 π 2π e02f    ，所以  π 02f f t   ， 由零点存在定理可知，函数 ()y f x 在区间 π ,02  上有且只有一个零点. .............11 分 综上所述，函数 在区间 π ,2   上有且仅有两个零点. ......................................12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 22 221xy ab ，其中 221ba ， 由已知当 2时，不妨设 2BF m，则 2 2AF m ， 1AB BF ， 1 3BF m ， 由椭圆定义得 24am，从而 122AF AF m ， .............................................2 分 第 4 页 共 5 页 CA F1 F2 B y x 故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A(0, )b ，从而由已知条件可得 3( , )22 bB ，...................4 分 代入椭圆方程，解得 2 3a ，所以 221ba =2， 故所求椭圆方程为 22 132 xy . .............................................6 分 （Ⅱ）设直线 AB 方程为 1x my，代入椭圆 222 3 6xy中， 222( 1) 3 6my y   ，即 22(2 3) 4 4 0m y my    ， 12 2 4 23 myy m   ， 12 2 4 23yy m   ， 12 12 yym yy  ， ..................8 分 由题设知 (2,0)H ，直线 BH 斜率 2 2 2BH yk x  2 2 1 y my  2 12 1 1 y yy y    1y ，........10 分 BH 方程为 1( 2)y y x，而直线 2l 方程为 1yy ，代入 ，得 3x  故点C 的横坐标是定值 3. .............................................12 分 另解：点C 的横坐标是定值3 ，以下给出证明. 设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，代入椭圆方程，得 22 112 3 6xy ，……① 22 222 3 6xy ，……② ②两边同乘以 2 ，得 2 2 2 2 2 222 3 6xy ，……③ ①-③，得 2 1 2 1 2 1 2 1 22( )( ) 3( )( ) 6(1 )x x x x y y y y ，……④ ...................8 分 由 22AF F B ，得 121xx ， 120yy ， 将 ， 代入④化简，得 123(1 )xx ， 从而 1 2x ， 2 12x ， .............................................10 分 设点 31( , )C x y ， ,,C H B 三点共线，设CH HB ，则 32 12 2 ( 2), , xx yy 第 5 页 共 5 页 而已知 120yy ， ， 322 ( 2)xx， 322 2 3xx ， 因此无论 如何变化，点C 的横坐标总是定值3 . .............................................12 分 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分） 解（Ⅰ）设点  ,M x y ， (3cos , 3sin )P ，且点  6,0Q ，由 2PM MQ ， 得 4 cos , sin , x y      ...................................2 分 整理得 2 241xy   , 即 228 15 0x y x    ， ......................3 分 化为极坐标方程为 2 8 cos 15 0     . ...................................5 分 （Ⅱ）设直线l ： y kx 的极坐标方程为 . 设  1,A ，  2,B ， 因为 4OA AB ，所以54OA OB ，即 1254 ， ...................................6 分 又 2 8cos 15 0      ， 则 12 12 12 8, 15, 54, cos          解得 93cos 16  ， .............8 分 所以 22 2 1 13tan 1cos 243k      ， 9 27 3k  . ...................................10 分 【选修 4-5：不等式选讲】 23.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）函数  ( ) 2 2 2 1f x g x x a x     = 2 2 2x a x   2 (2 2)x a x    21a   ， ...................................3 分 解得 1a  或 3a  ； ...................................5 分 （Ⅱ）不等式  ( ) 1f x g x，即 2 1 1x a x    ， 由题意， 1[ ,1]2x 时， 2 1 1x a x    成立， ∴ 2x a x．∴ 3 a xa， ...................................7 分 不等式  ( ) 1f x g x的解集包含 1[ ,1]2 ，即 1 32 a  且 1a  ，...................................9 分 解得 31 2a，所以实数 a 的取值范围是 3(1, )2 ． ...................................10 分