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太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）
数学试题（文）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B C C B D D B C B D
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 4 14. 1
2 15. 3
3 16. +1m
三、解答题（共 70 分）
（一）必考题
17. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意得
0.002 20 0.006 20 20 0.012 20 0.010 20 20 0.002 20 0.002 20 1aa ，
解得 0.008a ，.................................................................................................................2 分
设中位数为110 x ，则 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 0.5x ，解得 15x ，
∴中位数是 125. ................................................................................................4 分
（Ⅱ）由 175 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 20 98 .
∴估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. ...............................................6 分
（Ⅲ）在区间 150,170 中有 28 人，在区间 170,190 中有 7 人，在区间 190,210 中有 7 人，
按分层抽样抽取 6 人，则从 抽取 4 人， 和 各抽取 1 人. .....8 分
设从 抽取 1 2 3 4, , ,A A A A ，从 抽取 B，从 抽取 C，
则从 6 人中抽取 2 人的情况有：
1 2 1 3 1 4 1 1 2 3 2 4 2 2 3 4 3 3 4 4, , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A A A B AC A A A A A B A C A A A B A C A B A C BC 共 15 种情况，
它们是等可能的，其中满足两人均来自区间 的有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , ,A A A A A A A A A A A A 共
有 6 种情况， .......................................................................11 分
∴ 62
15 5P ，
∴两人均来自区间 150,170 的概率为 2
5 . .......................................................................12 分
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18.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）∵2 2 π 1cos sin( ) cos3 6 2CC ，∴ π 1sin( ) cos62CC ， ........................1 分
∴ 1 3 1cos sin cos2 2 2C C C ，∴ 3 1 1sin cos2 2 2CC， ......................................3 分
∴ π 1sin( )62C ，.....................................................................................................................5 分
而C 为三角形内角，∴ π
3C . .............................................................................................6 分
（Ⅱ）由 ABC 的面积为 33
2
及
3C ，得 1 3 3sin2 3 2ab ，....................................7 分
化简得 6ab ， .......................................................................8 分
又 3c ,由余弦定理，得 222 cos 9a b ab C ，化简得 2215ab， ...................10 分
所以 33ab ， .......................................................................11 分
所以 1 1 3
2b
a
ba
b
a
. .....................................................................12 分
19.（本小题满分 12 分）
证明（Ⅰ）由已知得 1 22AC BC ，
1 2A D BD CD ，......................................1 分
在三棱锥 1A BCD 中， 点G 是 1AB中点，
1DG A B， 1CG A B ， =DG CG G又 ，.............................................................3 分
1A B DGC平面 ，........................................................................................................4 分
1M N AC BC又 点 、 分别是 、 的中点 1MN A B ，
MN DGC平面 . .........................................................................................................6 分
解（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1 ,CD A D CD BD，且 1 =,A D BD D
1CD A DG平面 ， .............................................................8 分
0
1 60A DB又， 1A DB 是等边三角形，
1DG A B， 1 2AB ， 11
1 12AG A B， 3DG ，.......................................................10 分
1 1
1 1 3132 2 2A DGS AG DG ， 第 3 页 共 5 页
1 1 1
1 1 3 323 3 2 3G A DC C A DG A DGV V S CD . ........................................................12 分
20.（本小题满分 12 分）
解（Ⅰ） e cosxf x x∵ ，则 e sinxf x x ， 0 0, 0 1ff∴ . ..................3 分
因此，函数 ()y f x 在点 0, 0f 处的切线方程为 yx ，即 0xy；.........................5 分
（Ⅱ）当 0x 时， e 1 cosx x ，此时， e cos 0xf x x ，
所以，函数 ()y f x 在区间 0, 上没有零点；........................................................6 分
又 00f ，下面只需证明函数 在区间 π ,02
上有且只有一个零点. ............7 分
e sinxf x x ，构造函数 e sinxg x x ，则 e cosxg x x ，
当 π 02 x 时， e cos 0xg x x ，所以，函数 ()y f x 在区间 π ,02
上单调递增，
π
2π e 1 02f
∵ ， 0 1 0f ，
由零点存在定理知，存在 π ,02t
，使得 0ft ，..................................................9 分
当 π
2 xt 时， 0fx ，当 0tx时， 0fx .
所以，函数 ()y f x 在 xt 处取得极小值，则 00f t f，
又
π
2π e02f
，所以 π 02f f t
，
由零点存在定理可知，函数 ()y f x 在区间 π ,02
上有且只有一个零点. .............11 分
综上所述，函数 在区间 π ,2
上有且仅有两个零点. ......................................12 分
21.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
22
221xy
ab
，其中 221ba ，
由已知当 2时，不妨设 2BF m，则 2 2AF m ，
1AB BF ， 1 3BF m ，
由椭圆定义得 24am，从而 122AF AF m ， .............................................2 分 第 4 页 共 5 页
CA
F1 F2
B
y
x
故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A(0, )b ，从而由已知条件可得 3( , )22
bB ，...................4 分
代入椭圆方程，解得 2 3a ，所以 221ba =2，
故所求椭圆方程为
22
132
xy . .............................................6 分
（Ⅱ）设直线 AB 方程为 1x my，代入椭圆 222 3 6xy中，
222( 1) 3 6my y ，即 22(2 3) 4 4 0m y my ，
12 2
4
23
myy m
， 12 2
4
23yy m
，
12
12
yym yy
， ..................8 分
由题设知 (2,0)H ，直线 BH 斜率 2
2 2BH
yk x
2
2 1
y
my
2
12
1
1
y
yy
y
1y ，........10 分
BH 方程为 1( 2)y y x，而直线 2l 方程为 1yy ，代入 ，得 3x
故点C 的横坐标是定值 3. .............................................12 分
另解：点C 的横坐标是定值3 ，以下给出证明.
设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，代入椭圆方程，得
22
112 3 6xy ，……①
22
222 3 6xy ，……②
②两边同乘以 2 ，得 2 2 2 2 2
222 3 6xy ，……③
①-③，得 2
1 2 1 2 1 2 1 22( )( ) 3( )( ) 6(1 )x x x x y y y y ，……④ ...................8 分
由 22AF F B ，得 121xx ， 120yy ，
将 ， 代入④化简，得 123(1 )xx ，
从而 1 2x ， 2 12x ， .............................................10 分
设点 31( , )C x y ， ,,C H B 三点共线，设CH HB ，则 32
12
2 ( 2),
,
xx
yy 第 5 页 共 5 页
而已知 120yy ， ， 322 ( 2)xx， 322 2 3xx ，
因此无论 如何变化，点C 的横坐标总是定值3 . .............................................12 分
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22.（本小题满分 10 分）
解（Ⅰ）设点 ,M x y ， (3cos , 3sin )P ，且点 6,0Q ，由 2PM MQ ，
得
4 cos ,
sin ,
x
y
...................................2 分
整理得 2 241xy , 即 228 15 0x y x ， ......................3 分
化为极坐标方程为 2 8 cos 15 0 . ...................................5 分
（Ⅱ）设直线l ： y kx 的极坐标方程为 . 设 1,A ， 2,B ，
因为 4OA AB ，所以54OA OB ，即 1254 ， ...................................6 分
又 2 8cos 15 0 ， 则
12
12
12
8,
15,
54,
cos
解得 93cos 16 ， .............8 分
所以 22
2
1 13tan 1cos 243k ， 9
27
3k . ...................................10 分
【选修 4-5：不等式选讲】
23.（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）函数 ( ) 2 2 2 1f x g x x a x
= 2 2 2x a x 2 (2 2)x a x 21a ， ...................................3 分
解得 1a 或 3a ； ...................................5 分
（Ⅱ）不等式 ( ) 1f x g x，即 2 1 1x a x ，
由题意， 1[ ,1]2x 时， 2 1 1x a x 成立，
∴ 2x a x．∴
3
a xa， ...................................7 分
不等式 ( ) 1f x g x的解集包含 1[ ,1]2
，即 1
32
a 且 1a ，...................................9 分
解得 31 2a，所以实数 a 的取值范围是 3(1, )2
． ...................................10 分
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