高三数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．
A． B． C． D．
3．“民以食为天，食以安为先．”食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类，动物性食品类，植物油类分别有48种，24种，30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是
A．10 B．9 C．8 D．7
4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤．问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则
A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤
5．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
6．已知双曲线的右顶点为，直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若与轴垂直，则的离心率为
A． B． C．2 D．3
7．在1.5，，，这四个数中
A．最大的是，最小的是 B．最大的是1.5，最小的是
C．最大的是，最小的是tan77° D．最大的是，最小的是1.5
8．在底面为正三角形的三棱柱中，，．若该三棱柱的体积为，则，与底面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
9．在等腰梯形中，，，，分别为，的中点，则
A． B．
C． D．
10．已知函数，若曲线上总存在一点，使得曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则的取值范围为
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，，若，，，则的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若，则的最小值为__________．
14．在数列中，，且，则__________．
15．的展开式共有21项，若从这21项中任意选取2项，则这2项都是有理项的概率为__________．
16．设，分别为椭圆的左，右焦点，为内一点，为上任意一点．现有四个结论：①的焦距为2；②的长轴长可能为③|的最大值为；④若的最小值为3，则．
其中所有正确结论的编号是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
设，，分别为△内角，，的对边．已知，
（1）证明：△是直角三角形．
（2）若是边上一点，且，，，求△的面积．
18．（12分）
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）判断的零点的个数，并说明理由．
19．（12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且底面．
（1）证明：平面平面．
（2）若，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的大小．
20．（12分）
设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．
（1）若过点，且，求的斜率；
（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．
21．（12分）
某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．
（1）设日销售40个零件的概率为，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为，写出关于的函数关系式，并求极大值点．
（2）试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量
40
60
80
100
频数
9
12
其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．
该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设日销售量为80件的概率为，其中为（1）中的极大值点．
（i）设该4S店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y，求EX和EY；
（ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按什么方案批发零件？
（二）选考题：共10分，请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）若，求的极坐标方程；
（2）若与恰有4个公共点，求的取值范围．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：．
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