2020年长宁区高三数学在线学习效果评估试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则_______________．
2．行列式的值等于______________．
3．的二项展开式的第三项的系数是 _______________．
4．若复数满足，则_______________．
5．若实数、满足，则的最小值为____________．
6．直线（是参数）的斜率为____________．
7．如图，已知正四棱柱的侧棱长为，
底面边长为，则直线和底面所成的角的大小为
______________．
8．记等差数列的前项和为．若，，则__________．
9．已知．若函数在上递减且为偶函数，
则__________．
10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，
则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）．
11． 已知点、在以为直径的圆上．若，则________．
12．已知函数. 若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的
高三数学试卷 共4页 第4页
取值范围是___________________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知向量，，，则“”是“ ∥ ”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．某单位现有职工人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本．已
知号、号、号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15．在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点.已知角的终边
与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，
若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边
区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间
上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上
（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是.已知
．利用此方法计算出的由曲
线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，母线长为 ．
（1）求该圆锥的体积；
（2）已知为圆锥底面的直径，为底面圆周上
一点，且，为线段的中点，
求异面直线与所成的角的大小．
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18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，．
（1）设的内角、、所对的边长分别为、、．若，且，
，求的值；
（2）求函数的最大值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N. 已知向水中每投放1个单位的物
质N， (单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加mol/L，与的函数关系可近似地表示
为．根据经验，当水中含有物质N的量不低于 mol/L时，物质N才
能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？
（2）若在水中首次投放个单位的物质N，第天再投放个单位的物质N，试判断第天
至第天，水中所含物质N的量是否始终不超过 mol/L，并说明理由．
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20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的
倍. 椭圆的上、下顶点分别为、，经过点的直线与椭圆相交于、两点
（不同于、两点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，求点的坐标；
（3）设直线、相交于点，求证：是定值.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数
列具有“性质”． 已知数列为无穷数列.
（1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”；
（3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式.
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