扬州中学2019—2020学年度第二学期阶段性检测
高 三 数 学 2020.5.22
一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案写在答题卡相应位
置上.
1.已知全集 ,集合 , ,则
．
2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则
．
3.根据如图所示伪代码,最后输出的 的值为____.
4.若 ， ，则函数 有零点的概率为
__________.
5．“ ”是“ ”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不
充分也不必要”、“充要”)
6. 某批产品共 100 件，将它们随机编号为 1，2，3，4，……，100，计划用系统抽样
方法随机抽取 20 件产品进行检测，若抽取的第一个产品编号为 3，则第三件产品的编
号为 ．
7．已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，
则 的值为_________.
8. 已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 cm2，则此圆锥的体积为________cm3．
9. 已知 ，且 ，则 的最大值为________．
10．函数 （ ）的最大值为 3，若
的图象与 轴的交点坐标为 ，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则
．
{ 2, 1,0,1,2,3}U = − − ={-1 0 1}A ，， { 1,1,2}B = −
( ) ( )U UA B∩ =
z 1 i+
z
i
=
i
a { }1,1,2b∈ − ( ) 2 2f ax x bx = + +
a b> 3 3a b>
{ }na n nS n nT 3 2 1 54 , 243S a a T= + =
1a
60π
0,0 >> ba abba 113 −=+ b
2( ) cos ( ) 1f x A xω ϕ= + + 0, 0,0 2A
πω ϕ> > < <
( )f x y (0,2)
(2020)f =11．已知双曲线 的渐近线是边长为 1 的菱形 的边 所在
直线．若椭圆 经过 两点，且
点 是椭圆 的一个焦点，则 ＝ ．
12.对任意闭区间 用 表示函数 在 上的最大
值。若正数 满足 ，则 的值为 ．
13．圆 与曲线 相交于 点四点， 为坐标
原点，则 _______.
14．函数 在 上有 2 个零点，则 的范围是_________.
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本题满分 14 分）已知 的内角 的对边分别是 ，且
， ， .
（1）求 的值；（2）求 的面积.
16. （本题满分 14 分）如图,在斜三棱柱 中,侧面 是菱形,
为 中点, 过 三点的平面交 于点
. 求证:
(1) ;
(2) 平面 .
2
2: 13
yM x − = OABC ,OA OC
2 2
2 2: 1( 0)x yN a ba b
+ = > > ,A C
B N a
,I IM siny x= I
a [0, ] [ ,2 ]2a a aM M= a
2 2 6 4 0x y x y+ + − = 2 4
3
xy x
+= + , , ,A B C D O
OA OB OC OD+ + + =
3 2( ) 1f x x ax b= − − − (0,2) b
a
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
tan tana B b A= 1cos 4C = 3c =
cos A ABC∆
111 CBAABC − 11 ACCA
1 60A AC∠ = °， 90BAC∠ = °，M BC MBA ,, 11 AC
N
ABMN ∥
⊥AC MBA 1117．（本题满分 14 分）如图，已知某市穿城公路 自西向东到达市中心 后转向东
北方向， ＝ ，现准备修建一条直线型高架公路 ，在 上设一出入口
，在 上设一出入口 ，且要求市中心 到 所在的直线距离为 10 ．
（1）求 两出入口间距离的最小值；
（2）在公路 段上距离市中心 点 30 处有一古建筑 （视为一点），现设立一
个以 为圆心，5 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑 和市中心 之间设计出
入口 ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？
18．（本题满分 16 分）已知椭圆 : 的右焦点为 ,右
准线为 .点 是椭圆 上异于长轴端点的任意一点,连接 并延长交椭圆
于点 , 线段 的中点为 , 为坐标原点,且直线 与右准线 交于点 N.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 若 ,求点 的坐标;
(3) 试确定直线 与椭圆 的公共点的个数, 并说明理由.
3
4
π
MON O
MON∠ AB MO
A ON B O AB km
,A B
MO O km C
C km C O
A
E )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x )0,3(F
4: =xl P E PF E
Q PQ M O OM l
E
MNOM 2= P
PN E19．（本题满分 16 分）在等比数列 中，已知 .设数列 的前 项
和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：数列 是等差数列；
（3）是否存在等差数列 ，使得对任意 ，都有 ？若存在，求出
所有符合题意的等差数列 ；若不存在，请说明理由.
20．（本题满分 16 分）已知函数 .
（1）若函数 ，试研究函数 的极值情况；
（2）记函数 在区间 内的零点为 ，记
，若 在区间 内有两个不等实根
，证明： .
{ }na 1 4
11, 8a a= = { }nb n
nS 1 1b = − *
1
1 ( 2, )2n n na b S n n N−+ = − ≥ ∈
{ }na
n
n
b
a
{ }nc n ∗∈N n n nS c a≤ ≤
{ }nc
( ) lnf x x x=
2( ) '( ) ( 2) ( 0)g x f x ax a x a= + − + > ( )g x
( ) ( ) x
xF x f x e
= − (1,2) 0x
( ) min ( ), x
xm x f x e
= ( ) ( )m x n n R= ∈ (1, )+∞
1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 02x x x+ >扬州中学2019—2020学年度第二学期阶段性检测
高 三 数 学 加 试 题 2020.5.22
21．（A） [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知点 在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 ，得到点
．若点 的坐标为 ，求点 A 的坐标．
（B）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
， 的极坐标分别为 ， ，曲线 的方程为 （ ）．
（1）求直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 和曲线 有且只有一个公共点，求 的值．
A 3x x x y
y y y
′ + → = ′ 90°
B B ( 4,3)−
A B ( )π4 2， ( )5π2 2 4， C rρ = 0r >
AB
AB C r22．（本小题满分 10 分）
已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 ，求 的值.
记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
23.（本小题满分 10 分）
袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机
取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并
且另补一个白球放入袋中．重复上述过程 次后，袋中白球的个数记为 ．
（1）求随机变量 的概率分布及数学期望 ；
（2）求随机变量 的数学期望 关于 的表达式．
( )1 ( )2 11 2 nx +− 1: 4 n
( )2 ( )2 1 2 2 1
0 1 2 2 11 2 n n
nx a a x a x a x+ +
+− = + + +⋅⋅⋅+ *n N∈
0 1 2 1na a a ++ +⋅⋅⋅+
( )2 k
k ka b= − ( ) ( )0 1 2 2 11 2 3 1 2 2k nb b b k b n b +⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ + ⋅ +⋅⋅⋅+ + ⋅
n nX
2X 2( )E X
nX ( )nE X n
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