2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
D
A
C
C
A
A
B
B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．16 16．，（第1空2分，第2空3分）
三、解答题：
17．【解析】（1）由得，因为数列是等比数列，所以，即，化简得①（舍）；由得，即②，由①②解得（舍）． （6分）
（2）由（1）得，，于是，，
，所以整数的最小值为2． （12分）
18．【解析】
（1）设动圆圆心，由题意可得： ，整理得：，所以，动圆圆心的轨迹的方程： （5分）
（2）由题意，直线经过点，设，直线的方程：与抛物线方程联立： 得到：，显然
由根与系数关系：， （7分）
再设直线 的方程：，与抛物线联立：得到：，由对称性知：，又由根与系数关系： （10分）
所以：，即，直线的方程：，
直线恒过定点. （12分）
19．【解析】（1）因为直线与直线交于点，所以且，故面且，同理，面且，面且，由公理3，记面面，则，即三点共线． （5分）
（2）因为面，．如图，作，则两两垂直，以为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，
，，
设面的法向量，则
，令得，
又面的法向量，
所以，解得，
因此． （12分）
法二：由第一问知面面,作于点,联结,
故即为锐二面角的平面角，由条件
有条件易知
，故. （12分）
20. 【解析】（1）方法一：所有的派遣方法有：，女技术员派到甲校的方法有：种，故女技术员被派到甲校的概率为. （4分）
方法二：
只考虑女技术员派遣的方法，共3种派法，被派到甲校仅一种派法，故. （4分）
（2）①由与之间满足线性回归方程知，
即，解得：. （8分）
②易得，，代入得：
，解得，所以，
当时，
故若年收入达到60万元，估计主打产品的销售额是57.2万元. （12分）
另解： 易得，，代入得：，
当时，． （12分）
21．【解】（1），令，则，因为，所以，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，则． （3分）
（2），令，则，所以在上单调递增，又，所以时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． （7分）
（3）证明：要证，即证．
①当时，，而，所以不等式成立． （8分）
②当时，，由（2）知：时，，所以，所以只需证．
令（），则，所以在单调递减，所以
，即．
故只需证，即证：．
由（1）知，上述不等式成立．
综上，当时，． （12分）
注：其他证法酌情给分，对于第（3）小题，若不考虑而直接将变为，扣1分，但按其他合理的分段点（如：）分类，不扣分．
22．【解析】（1）曲线的普通方程为：； （3分）
曲线的直角坐标方程为：. （5分）
（2）由于圆的半径为3，曲线上恰有三个点到曲线的距离为1，圆心到直线的距离应为2.,得：. （10分）
23．【解析】（1）当时，不等式，即：，
设，
由解得：或，
所以，不等式的解集为. （5分）
（2）因为，
函数的最小值为2，. （7分）
证法一：根据柯西不等式可得：
当且仅当：，即时等式成立.
综上， （10分）
证法二：
，当且仅当等式成立.
综上， （10分）
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