2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
. 已知复数，是纯虚数，则（ ）
A. B. C. D. 1
. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
. 首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
. 《周带算经》 中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”. 我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想. 现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为， 正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是，则圆周率的值为（ ）
A. B. C. D.
. 在三棱柱中，是棱的中点，动点是侧面（包括边界）上一点，若平面，则动点的轨迹是（ ）
A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
. 函数 的图像大致是（ ）
. 如图，在梯形中，，，，是的中点，是上一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
. 已知命题的展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为；命题 随机变量服从正态分布，且，则 现给出四个命题:；；；.
其中真命题的是（ ）
A. B. C. D.
. 设数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
. 过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为
，与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题: 本大题共小题，每小题分，共分.
. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角
的终边上，则 .
. 下表是某厂年月份用水量（单位: 百吨）的一组数据
由散点图可知，用水量与月份之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是
，预测年月份该厂的用水量为 百吨.
. 过抛物线焦点的直线交该拋物线于，两点，且，若原点是的垂心，则点的坐标为 .
. 正四棱雉的底面边长为，侧棱长为，过点作一个与侧棱垂直
的平面，则平面被此正四棱雉所截的截面面积为 ，平面将此正四棱雉分成
的两部分体积的比值为 .（第一个空分，第二个空z分）
三、解答题： 共分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 、题为选考题，考生根据要求做答.
（一）必考题：共分.
. （分）的内角，，对边分别为，，，已知，，的面积为.
（1）求的周长；
（2）求的值.
.（分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，.
（1）求证： ；
（2）若，，且点在侧面上的投影为点，求二面角的余弦值.
.（分）已知点，的坐标分别是，，动点满足直线
和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形
为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围.
.（分）当今世界科技迅猛发展，信息日新月异，为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查. 该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取名，数据统计如下表:
（1）是否有的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?
（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分分，每借阅一本非科技类图书奖励积分分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书. 用上表中的样本频率作为概率的估计值.
（i）现有 名借阅者每人借阅一本图书，记此人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望；
（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取人，则借阅科技类图书最有可能的人数是
多少？
附： ，其中.
.（分）已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）若在上有且仅有个极值点，求的取值范围.
（二）选考题：共分. 请考生在第、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.
.【选修：坐标系与参数方程】（分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 . 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极王标方程为.
（1）写出曲线和的直角坐标方程；
（2）已知为曲线上的动点，过点作曲线的切线，切点为，求的最大值.
.【选修：不等式选讲】（分）
已知函数的最大值为，正实数，满足.
（1）求的最小值；
（2）求证：.
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