十月联考高三数学试题
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合 A = {x | x - 2 1}, B = {-3, -1, 0,1,3},则 A B = ( )
4
A {-3, -1} B {-1, 0,1}
2. 已知i 为虚数单位,复数 z =
1- 3i 3 + i
C {0,1}
, 则 z = ( )
D {1, 3}
4
2
10
A 1 B 2 C 2 D
3. 已知向量a = (1, 2), b = (-2, m),且(a + b)/ /a ,则m 的值为( )
A 1 B -1 C 4 D -4
4. 已知等差数列{an }的前n 项为 Sn , S2n = 6 , S3n = 12 ,则 Sn 的值为( )
A 2 B 0 C 3 D 4
5. 如图,在一个凸四边形 ABCD 内,顺次连接四边形各边中点 E, F,G, H 而成的四边形是一个平行四边形,这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图,现有一个面积为12 的凸四边形 ABCD ,设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 A1B1C1D1 ,记其面积为a1 ,
4
四边形为 A1B1C1D1 对应的瓦里尼翁平行四边形为 A2 B2C2 D2 ,记其面积为 a2 ,
,依次类推,则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 A4 B4C4 D4 的面积为( )
4
A 1 B 4
27
3
C D 不确定
4
4
6. 已知cos(a+ ) + cosa = 1,则sin( -a)= ( )
3
3
-
1 3
A B C D
3 3 3
4
7. 在( - y )(x + y)6 的展开式中, x3 y4 的系数是( )
4
A 20 B 15
2
C -5 D -
4
8. 已知函数 f (x) =+ 2sin (p x),则函数 f (x)在[-2, 4]上的所有零点的和为( )
A 6 B 8 C 6p D 8p
二、 多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共计 20 分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9. 2019 年女排世界杯是由国际排联(FIVB)举办的第13 届世界杯赛事,比赛于2019 年9 月
14日至9 月29 日在日本举行,共有12 支参赛队伍. 最终,中国女排以11战全胜且只丢3 局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军. 中国女排的影响力早已超越体育本身的意义,不仅是时代的集体记忆,更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号. 以下是本届世界杯比赛最终结
果的相关数据,记前6 名球队中,每个队的胜场数为变量 x ,积分为变量 y ,(只列出了前
排名
1
2
3
4
5
6
胜场数 x
11
10
8
7
6
6
积分 y
32
28
23
21
19
18
6 名).
若 y 与 x 之间具有线性相关关系, 根据表中数据可求得 y 关于 x 的回归直线方程为
y = 2.59x + a ,则下列说法正确的有( )
A a 的值为2.78 B a 的值为2.1
C 若整队在此次比赛中获胜的场数是4 ,根据线性回归方程其得分为13 分(精确到整数)
D 由线性回归方程可知,当某个队伍胜场增加1场时,其积分约增加2.59 分
10. 已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) >- f '(x),则下列式子成立的是( )
A f (2019) < ef (2020) B ef (2019) > f (2020)
C f (x)是R 上的增函数 D 若t > 0 ,则有 f (x) < et f (x + t )
4
11. 已知椭圆C : = 1(a > b > 0)的左、右端点分别为 A, B ,点 P, Q 是椭圆C 上关
4
于原点对称的两点(异于左右端点),且kPA kPB = - ,则下列说法正确的有( )
A. 椭圆C 的离心率不确定 B. 椭圆C 的离心率为
4
C. kPA kQB的值受点 P, Q 的位置影响 D.cos APB 的最小值为-
4
4
12. 如图,已知 a, b 是相互垂直的两条异面直线,直线 AB 与 a, b 均相互垂直,且 AB = 2 ,
13.
4
动点 P, Q 分别位于直线a, b 上,若直线 PQ 与 AB 所成的角q = ,线段 PQ 的中点为M,P A a
4
下列说法正确的是( )
2
A PQ 的长度为2
M
b
B
Q
α
B PQ 的长度不是定值
4
C 点 M 的轨迹是圆 D 三棱锥 A- BPQ 的体积为定值
三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分.)
7. 已知函数 f (x) = ex - 2x ,则函数 f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为 .
8. 已知点O 为圆锥 PO 底面的圆心,圆锥 PO 的轴截面为边长为2 的等边三角形 PAB ,则圆锥 PO 的外接球的表面积为 .
9. 如图是一公路隧道截面图,下方 ABCD 是矩形,且 AB = 4m ,BC = 8m ,隧道顶 APD 是一圆弧,拱高OP = 2m ,隧道有两车道 EF 和 FG ,每车道宽3.5m ,车道两边留有0.5m 人行道 BE 和GC ,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6m 的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是 m .(精确到0.01m , 7.141).
4
1- ax,
7. 已知函数 f (x) =
x > 0
有三个互不相同的零点 x1 , x2 , x3,则a 的
4
(a - x -1)(a - ex ), x 0
取值范围是 ; x1 x2 x3 的取值范围是 .
四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10. 给出一下两个条件:①数列{an}为等比数列,且an+1+ an = 3 2n , ②数列{an }的首
4
1
项 a = 2 ,且an+1- an = 2n . 从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择
4
多个条件分别解答,按第一个解答计分)
4
(1)求数列{an }的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn = log2an,求数列{} 的前n 项和Tn .
4
11. 如图,在DABC 中, AD 是BAC 的角平分线, BD = 5 , AB = 7 , ADB =120.
(1)求 AD 的长;
(2)求DADC 的面积.
4
7. 某商场为回馈消费者,将对单次消费满100 元的顾客进行抽奖活动. 为了增加抽奖的趣味性,按如下的游戏形式进行抽奖. 如图,在数轴点O 处有一个棋子,顾客有两次游戏机会, 在每次游戏中,顾客可抛掷两粒骰子,若两粒骰子的点数之和超过9 时,棋子向前(右)进一位;若两粒骰子的点数之和小于5 时,棋子向后(左)走一位;若两粒骰子点数之和为5
到9 时,则原地不动,设棋子经过两次游戏后所在的位置为 X ,若 X = 2 ,则该顾客获得
价值100 元的一等奖;若 X = 1,则该顾客获得价值10 元的二等奖;若 X = 0 ,则该顾客不得奖.
(1)求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率;
(2)求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.
8. 如图,四边形 PBCA 为直角梯形, PB ^ PA, PA / /BC , AB ^ AC ,
PAB = ABC = ,点 D 为 BC 上一点,且 BD = 3CD ,如图,将DPBA 绕 AB 边翻折
形成三棱锥 P - ABC .
(1)证明:在三棱锥 P - ABC 中, AB ^ PD ;
(2)求三棱锥 P - ABC 体积的最大值,并求此时 PC 与面 ABC 所成角的正弦值.
9. 已知点 F (1, 0),点 P 到点 F 的距离比点 P 到 y 轴的距离多1,且点 P 的横坐标非负, 点 M (1, m)(m < 0) .
(1)求点 P 的轨迹C 的方程;
(2)过点 M 作C 的两条切线,切点为 A, B ,设 AB 的中点为 N ,求直线 MN 的斜率.
10. 已知函数 f (x) = ln x - 1 ax2 +1.
2
(1)讨论函数 f (x)的单调性;
(2)当a = 1时,设函数 f (x)的两个零点为 x1 , x2 ,试证明: x1 + x2 > 2 .
4