十月联考高三数学试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 已知集合 A = {x | x - 2 1}， B = {-3, -1, 0,1,3}，则 A B = （ ）
4
A {-3, -1} B {-1, 0,1}
2. 已知i 为虚数单位，复数 z =
1- 3i 3 + i
C {0,1}
， 则 z = （ ）
D {1, 3}
4
2
10
A 1 B 2 C 2 D
3. 已知向量a = (1, 2)， b = (-2, m)，且(a + b)/ /a ，则m 的值为（ ）
A 1 B -1 C 4 D -4
4. 已知等差数列{an }的前n 项为 Sn ， S2n = 6 ， S3n = 12 ，则 Sn 的值为（ ）
A 2 B 0 C 3 D 4
5. 如图，在一个凸四边形 ABCD 内，顺次连接四边形各边中点 E, F,G, H 而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图，现有一个面积为12 的凸四边形 ABCD ，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 A1B1C1D1 ，记其面积为a1 ，
4
四边形为 A1B1C1D1 对应的瓦里尼翁平行四边形为 A2 B2C2 D2 ，记其面积为 a2 ,
，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 A4 B4C4 D4 的面积为（ ）
4
A 1 B 4
27
3
C D 不确定
4
4
6. 已知cos（a+ ） + cosa = 1，则sin( -a)= （ ）
3
3
-
1 3
A B C D
3 3 3
4
7. 在( - y )(x + y)6 的展开式中， x3 y4 的系数是（ ）
4
A 20 B 15
2
C -5 D -
4
8. 已知函数 f (x) =+ 2sin (p x)，则函数 f (x)在[-2, 4]上的所有零点的和为（ ）
A 6 B 8 C 6p D 8p
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9. 2019 年女排世界杯是由国际排联（FIVB）举办的第13 届世界杯赛事，比赛于2019 年9 月
14日至9 月29 日在日本举行，共有12 支参赛队伍. 最终，中国女排以11战全胜且只丢3 局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军. 中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号. 以下是本届世界杯比赛最终结
果的相关数据，记前6 名球队中，每个队的胜场数为变量 x ，积分为变量 y ，（只列出了前
排名
1
2
3
4
5
6
胜场数 x
11
10
8
7
6
6
积分 y
32
28
23
21
19
18
6 名）.
若 y 与 x 之间具有线性相关关系， 根据表中数据可求得 y 关于 x 的回归直线方程为
y = 2.59x + a ，则下列说法正确的有（ ）
A a 的值为2.78 B a 的值为2.1
C 若整队在此次比赛中获胜的场数是4 ，根据线性回归方程其得分为13 分（精确到整数）
D 由线性回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59 分
10. 已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) >- f '(x)，则下列式子成立的是（ ）
A f (2019) < ef (2020) B ef (2019) > f (2020)
C f (x)是R 上的增函数 D 若t > 0 ，则有 f (x) < et f (x + t )
4
11. 已知椭圆C : = 1(a > b > 0)的左、右端点分别为 A, B ，点 P, Q 是椭圆C 上关
4
于原点对称的两点（异于左右端点），且kPA kPB = - ，则下列说法正确的有（ ）
A. 椭圆C 的离心率不确定 B. 椭圆C 的离心率为
4
C. kPA kQB的值受点 P, Q 的位置影响 D.cos APB 的最小值为-
4
4
12. 如图，已知 a, b 是相互垂直的两条异面直线，直线 AB 与 a, b 均相互垂直，且 AB = 2 ，
13.
4
动点 P, Q 分别位于直线a, b 上，若直线 PQ 与 AB 所成的角q = ，线段 PQ 的中点为M，P A a
4
下列说法正确的是（ ）
2
A PQ 的长度为2
M
b
B
Q
α
B PQ 的长度不是定值
4
C 点 M 的轨迹是圆 D 三棱锥 A- BPQ 的体积为定值
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．）
7. 已知函数 f (x) = ex - 2x ，则函数 f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为 .
8. 已知点O 为圆锥 PO 底面的圆心，圆锥 PO 的轴截面为边长为2 的等边三角形 PAB ，则圆锥 PO 的外接球的表面积为 .
9. 如图是一公路隧道截面图，下方 ABCD 是矩形，且 AB = 4m ，BC = 8m ，隧道顶 APD 是一圆弧，拱高OP = 2m ，隧道有两车道 EF 和 FG ，每车道宽3.5m ，车道两边留有0.5m 人行道 BE 和GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是 m .（精确到0.01m ， 7.141）.
4
1- ax,
7. 已知函数 f (x) =
x > 0
有三个互不相同的零点 x1 , x2 , x3，则a 的
4
(a - x -1)(a - ex ), x 0
取值范围是 ； x1 x2 x3 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
10. 给出一下两个条件：①数列{an}为等比数列，且an+1+ an = 3 2n ， ②数列{an }的首
4
1
项 a = 2 ，且an+1- an = 2n . 从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题（如果选择
4
多个条件分别解答，按第一个解答计分）
4
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn = log2an，求数列{} 的前n 项和Tn .
4
11. 如图，在DABC 中， AD 是BAC 的角平分线， BD = 5 ， AB = 7 ， ADB =120.
（1）求 AD 的长；
（2）求DADC 的面积.
4
7. 某商场为回馈消费者，将对单次消费满100 元的顾客进行抽奖活动. 为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖. 如图，在数轴点O 处有一个棋子，顾客有两次游戏机会， 在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9 时，棋子向前（右）进一位；若两粒骰子的点数之和小于5 时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5
到9 时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为 X ，若 X = 2 ，则该顾客获得
价值100 元的一等奖；若 X = 1，则该顾客获得价值10 元的二等奖；若 X = 0 ，则该顾客不得奖.
（1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率；
（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.
8. 如图，四边形 PBCA 为直角梯形， PB ^ PA， PA / /BC ， AB ^ AC ，
PAB = ABC = ,点 D 为 BC 上一点，且 BD = 3CD ，如图，将DPBA 绕 AB 边翻折
形成三棱锥 P - ABC .
（1）证明：在三棱锥 P - ABC 中， AB ^ PD ；
（2）求三棱锥 P - ABC 体积的最大值，并求此时 PC 与面 ABC 所成角的正弦值.
9. 已知点 F (1, 0)，点 P 到点 F 的距离比点 P 到 y 轴的距离多1，且点 P 的横坐标非负， 点 M (1, m)(m < 0) .
（1）求点 P 的轨迹C 的方程；
（2）过点 M 作C 的两条切线，切点为 A, B ，设 AB 的中点为 N ，求直线 MN 的斜率.
10. 已知函数 f (x) = ln x - 1 ax2 +1.
2
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
（2）当a = 1时，设函数 f (x)的两个零点为 x1 , x2 ，试证明： x1 + x2 > 2 .
4
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