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高三数学参考答案 第1页 共 8 页 高三数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．ABC 10．BD 11．ABD 12．ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．02m 14．8 15． 2 2 16．( ),2− 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 10 分) 解：(1)因为 (2 )( 3 1) 0x x a− − −  ， 当 1a = 时，不等式变为 (2 )( 4) 0xx− −  ， ………… 1 分 解得 24x. ………… 2 分 所以集合 { 2 4}A x x=   . ………… 3 分 (2)由于 22 2 2 2log ( 4 8)=log (( 2) 4) log 4=2y x x x= − + − +  ，即集合 B＝[2, )+ …… 4 分 因为 xA 是 xB 的充分不必要条件，则 AB ，且 AB ， ………… 6 分 ①若 2 3 1a+，即 1 3a  时， (2,3 1)Aa=+，满足 AB ，且 AB ，所以 1 3a  . …… 7 分 ②若 2 3 1a=+，即 1 3a = 时，不合题意； ………… 8 分 ③若 2 3 1a+，即 1 3a  时， (3 1,2)Aa=+ ，不满足 AB ，舍去. ………… 9 分 综上所述， 1 3a  . ………… 10 分 18．(本小题满分 12 分) 解：(1)函数 ()fx为奇函数， ………… 1 分 证明如下： 函数 ()fx的定义域为 R， ………… 2 分 对任意 xR ，有 11( ) ( )11 xx xx aaf x f xaa − − −−− = = = −++ ， ………… 4 分 即函数 ()fx为奇函数. (2)如填的①，即 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 5 分 证明如下： 法一： 任取 12xx ，则 12 1 2 1 2 2 112 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 1 (1 )=1 1 1 1 1 1 xx x x x x x x aaf x f x a a a a a a −−− = − = − − − −+ + + + + + 1 2 1 2 2 1 2 1 2[( 1) ( 1)] 2( )= ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x a a a a a a a a + − + −=+ + + + ………… 8 分 高三数学参考答案 第2页 共 8 页 由于 01a，函数 xya= 单调递减, 又由于 12xx ，从而 12xxaa ，即 120xxaa− ………… 10 分 又 121 0 1 0xxaa+  + ， ，所以 12 21 2( ) 0( 1)( 1) xx xx aa aa − ++ ，即 12( ) ( )f x f x …… 11 分 所以，当 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 12 分 法二： ' 22 ln ( 1) ( 1) ln 2 ln() ( 1) ( 1) x x x x x xx a a a a a a aafx aa  + − − ==++ ………… 8 分 由于 01a，所以 ln 0a  , ………… 9 分 又 20,( 1) 0xxaa +  ，所以 ' ( ) 0fx , ………… 10 分 所以，当 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 12 分 如填的②，即 1a  时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 5 分 证明如下： 法一：任取 12xx ，则 12 1 2 1 2 2 112 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 1 (1 )=1 1 1 1 1 1 xx x x x x x x aaf x f x a a a a a a −−− = − = − − − −+ + + + + + 1 2 1 2 2 1 2 1 2[( 1) ( 1)] 2( )= ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x a a a a a a a a + − + −=+ + + + ………… 8 分 由于 1a  ，函数 xya= 单调递增， 又由于 12xx ，从而 12xxaa ，即 120xxaa− ………… 10 分 又 121 0, 1 0xxaa+  +  ，所以 12 21 2( ) 0( 1)( 1) xx xx aa aa − ++ ，即 12( ) ( )f x f x …… 11 分 所以，当 1a  时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 12 分 法二： 22 ln ( 1) ( 1) ln 2 ln'( ) ( 1) ( 1) x x x x x xx a a a a a a aafx aa  + − − ==++ ………… 8 分 由于 1a  ，所以 ln 0a  ， ………… 9 分 又 20,( 1) 0xxaa +  ，所以 '( ) 0fx ， ………… 10 分 所以，当 1a  时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 12 分 19．(本小题满分 12 分) 解：(1) ( ) ( 1) .xf x x k e = − + ………… 1 分 令 ( ) 0= xf ，得 1−= kx ． ………… 2 分 )(xf 与 )(xf  的情况如下： x ( ,1k− − ) 1−k ),1( +−k )(xf  − 0 + )(xf 1−− ke ………… 4 分 所以， )(xf 的单调递减区间是( 1, −− k )；单调递增区间是 ),1( +−k ………… 5 分 高三数学参考答案 第3页 共 8 页 (2)当 01−k ，即 1k 时，函数 )(xf 在[0，1]上单调递增， ………… 6 分 所以 )(xf 在区间[0，1]上的最小值为 ;)0( kf −= ………… 7 分 当 0 1 1,k −  即12k时， ………… 8 分 由(1)知 ()fx在[0, 1]k − 上单调递减，在 ( 1,1]k − 上单调递增，所以 ()fx在区间[0，1]上 的最小值为 1( 1) kf k e −− = − ； ………… 9 分 当 1 1,k − 即 2k  时，函数 ()fx在[0，1]上单调递减， ………… 10 分 所以 ()fx在区间[0，1]上的最小值为 (1) (1 ) .f k e=− ………… 11 分 综上， 1 min , 1, ( ) , 1 2, (1 ) , 2. k k k f x e k k e k − − = −   − ………… 12 分 20．(本小题满分 12 分) 解：(1)因为当车速 60 /v km h= 时，安全车距 25.76 60d l kl= =  ，所以 1 625k = . ………… 2 分 (2)由(1)知， 1 625k = ，从而 2 5.76 625 lvdl==，由于 2 5.76 625 2 lv ldl= =  ，所以 25 2 /2v km h . ………… 3 分 当 25 2 /2v km h 时， 2 625 lvd = ; ………… 4 分 当 25 20/2v km h 时， 2 ld = ; ………… 5 分 综上， 2 25 2, 0 ,22 25 2,.625 2 l v d lv v  =    ………… 6 分 (3)由于一辆车占去道路的长为ld+ ，记 1h 内通过隧道的车辆数为 Q，设隧道的长度为 S， 则 1000vQ ld= + , ………… 7 分 当 25 20/2v km h 时， 25000 21000 2000 33 2 vvQ l l ll = =  + ， ………… 8 分 在 25 2 /2v km h= 时，取到最大值 25000 2 3l ; ………… 9 分 当 25 2 /2v km h 时， 2 1000 1000 1000 12500 1 1()2625626 625 vQ vllv vll lv v = =  = ++  ; ………… 10 分 当且仅当 1 625 v v = 时即 25 /v km h= ( 25 2 /2v km h )时取等号；………… 11 分 又 25000 212500 3ll ，所以，当 25 /v km h= 时，车流量 Q 最大. 答：在交通繁忙时段，应规定车速为 25 /v km h= 时，可以使隧道的车流量最大. (注：如用导数求解相应给分.) ………… 12 分 21．(本小题满分 12 分) 解：(1)由于函数 2()f x ax bx=+是二次函数，所以 0a  ，又 2( 2) ( 2) ( 2) 0f a b− =  − +  − = , 高三数学参考答案 第4页 共 8 页 所以 2ba= ， ………… 1 分 所以 2( ) 2f x ax ax=+，又 ()f x x= 有两个相等实根，即 2 (2 1) 0ax a x+ − = ( 0a  )有两个相 等实根， 所以 2(2 1) 4 0 0aa = − −   = ，所以 1 ,2a = ………… 2 分 从而 21() 2f x x x=+. ………… 3 分 (2)由(1)知， 21() 2f x x x=+，所以不等式 3() 2fx 即为 213 22xx+ ，解得 31x−   .… 5 分 (3)由(1)知， 21() 2f x x x=+，所以不等式 ()f x t x−即为 21 ( ) ( )2 x t x t x− + −  ,……… 6 分 化简得 2( ) 2x t t−，又由于 2( ) 0xt−，所以 20t  , ………… 7 分 从而不等式 2( ) 2x t t−的解集为{ 2 2 }x t t x t t−   + ………… 8 分 又由于当且仅当  4,xm 时， ()f x t x− ≤ 恒成立，即不等式 ()f x t x− ≤ 的解集为 { 4 }x x m ，………… 10 分 所以 24tt−=且 2t t m+=，从而解得 8, 12.tm== ………… 12 分 (注：如用方程与不等式的关系，从 4 是对应方程的一个根入手，先解出 t，再代入求出 m， 相应给分.) 22．(本小题满分 12 分) 高三数学参考答案 第5页 共 8 页 高三数学参考答案 第6页 共 8 页 高三数学参考答案 第7页 共 8 页 高三数学参考答案 第8页 共 8 页