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高三数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．ABC 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．02m 14．8 15． 2
2 16．( ),2−
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
解：(1)因为 (2 )( 3 1) 0x x a− − − ，
当 1a = 时，不等式变为 (2 )( 4) 0xx− − ， ………… 1 分
解得 24x. ………… 2 分
所以集合 { 2 4}A x x= . ………… 3 分
(2)由于 22
2 2 2log ( 4 8)=log (( 2) 4) log 4=2y x x x= − + − + ，即集合 B＝[2, )+ …… 4 分
因为 xA 是 xB 的充分不必要条件，则 AB ，且 AB ， ………… 6 分
①若 2 3 1a+，即 1
3a 时， (2,3 1)Aa=+，满足 AB ，且 AB ，所以 1
3a . …… 7 分
②若 2 3 1a=+，即 1
3a = 时，不合题意； ………… 8 分
③若 2 3 1a+，即 1
3a 时， (3 1,2)Aa=+ ，不满足 AB ，舍去. ………… 9 分
综上所述， 1
3a . ………… 10 分
18．(本小题满分 12 分)
解：(1)函数 ()fx为奇函数， ………… 1 分
证明如下：
函数 ()fx的定义域为 R， ………… 2 分
对任意 xR ，有 11( ) ( )11
xx
xx
aaf x f xaa
−
−
−−− = = = −++
， ………… 4 分
即函数 ()fx为奇函数.
(2)如填的①，即 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 5 分
证明如下：
法一：
任取 12xx ，则 12
1 2 1 2 2 112
1 1 2 2 2 2( ) ( ) 1 (1 )=1 1 1 1 1 1
xx
x x x x x x
aaf x f x a a a a a a
−−− = − = − − − −+ + + + + +
1 2 1 2
2 1 2 1
2[( 1) ( 1)] 2( )= ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x
a a a a
a a a a
+ − + −=+ + + +
………… 8 分 高三数学参考答案 第2页 共 8 页
由于 01a，函数 xya= 单调递减,
又由于 12xx ，从而 12xxaa ，即 120xxaa− ………… 10 分
又 121 0 1 0xxaa+ + ， ，所以
12
21
2( ) 0( 1)( 1)
xx
xx
aa
aa
− ++
，即 12( ) ( )f x f x …… 11 分
所以，当 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 12 分
法二： '
22
ln ( 1) ( 1) ln 2 ln() ( 1) ( 1)
x x x x x
xx
a a a a a a aafx aa
+ − − ==++ ………… 8 分
由于 01a，所以 ln 0a , ………… 9 分
又 20,( 1) 0xxaa + ，所以 ' ( ) 0fx , ………… 10 分
所以，当 01a时，函数 ()fx为 R 上的减函数. ………… 12 分
如填的②，即 1a 时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 5 分
证明如下：
法一：任取 12xx ，则
12
1 2 1 2 2 112
1 1 2 2 2 2( ) ( ) 1 (1 )=1 1 1 1 1 1
xx
x x x x x x
aaf x f x a a a a a a
−−− = − = − − − −+ + + + + +
1 2 1 2
2 1 2 1
2[( 1) ( 1)] 2( )= ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x
a a a a
a a a a
+ − + −=+ + + +
………… 8 分
由于 1a ，函数 xya= 单调递增，
又由于 12xx ，从而 12xxaa ，即 120xxaa− ………… 10 分
又 121 0, 1 0xxaa+ + ，所以
12
21
2( ) 0( 1)( 1)
xx
xx
aa
aa
− ++
，即 12( ) ( )f x f x …… 11 分
所以，当 1a 时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 12 分
法二： 22
ln ( 1) ( 1) ln 2 ln'( ) ( 1) ( 1)
x x x x x
xx
a a a a a a aafx aa
+ − − ==++ ………… 8 分
由于 1a ，所以 ln 0a ， ………… 9 分
又 20,( 1) 0xxaa + ，所以 '( ) 0fx ， ………… 10 分
所以，当 1a 时，函数 ()fx为 R 上的增函数. ………… 12 分
19．(本小题满分 12 分)
解：(1) ( ) ( 1) .xf x x k e = − + ………… 1 分
令 ( ) 0= xf ，得 1−= kx ． ………… 2 分
)(xf 与 )(xf 的情况如下：
x ( ,1k− − ) 1−k ),1( +−k
)(xf − 0 +
)(xf 1−− ke
………… 4 分
所以， )(xf 的单调递减区间是( 1, −− k )；单调递增区间是 ),1( +−k ………… 5 分 高三数学参考答案 第3页 共 8 页
(2)当 01−k ，即 1k 时，函数 )(xf 在[0，1]上单调递增， ………… 6 分
所以 )(xf 在区间[0，1]上的最小值为 ;)0( kf −= ………… 7 分
当 0 1 1,k − 即12k时， ………… 8 分
由(1)知 ()fx在[0, 1]k − 上单调递减，在 ( 1,1]k − 上单调递增，所以 ()fx在区间[0，1]上
的最小值为 1( 1) kf k e −− = − ； ………… 9 分
当 1 1,k − 即 2k 时，函数 ()fx在[0，1]上单调递减， ………… 10 分
所以 ()fx在区间[0，1]上的最小值为 (1) (1 ) .f k e=− ………… 11 分
综上， 1
min
, 1,
( ) , 1 2,
(1 ) , 2.
k
k k
f x e k
k e k
−
− = −
−
………… 12 分
20．(本小题满分 12 分)
解：(1)因为当车速 60 /v km h= 时，安全车距 25.76 60d l kl= = ，所以 1
625k = . ………… 2 分
(2)由(1)知， 1
625k = ，从而
2
5.76 625
lvdl==，由于
2
5.76 625 2
lv ldl= = ，所以 25 2 /2v km h .
………… 3 分
当 25 2 /2v km h 时，
2
625
lvd = ; ………… 4 分
当 25 20/2v km h 时， 2
ld = ; ………… 5 分
综上， 2
25 2, 0 ,22
25 2,.625 2
l v
d
lv v
=
………… 6 分
(3)由于一辆车占去道路的长为ld+ ，记 1h 内通过隧道的车辆数为 Q，设隧道的长度为 S，
则 1000vQ ld= + , ………… 7 分
当 25 20/2v km h 时， 25000 21000 2000
33
2
vvQ l l ll
= =
+
， ………… 8 分
在 25 2 /2v km h= 时，取到最大值 25000 2
3l ; ………… 9 分
当 25 2 /2v km h 时， 2
1000 1000 1000 12500
1 1()2625626 625
vQ vllv vll lv v
= = =
++
; ………… 10 分
当且仅当 1
625
v
v = 时即 25 /v km h= ( 25 2 /2v km h )时取等号；………… 11 分
又 25000 212500
3ll ，所以，当 25 /v km h= 时，车流量 Q 最大.
答：在交通繁忙时段，应规定车速为 25 /v km h= 时，可以使隧道的车流量最大.
(注：如用导数求解相应给分.) ………… 12 分
21．(本小题满分 12 分)
解：(1)由于函数 2()f x ax bx=+是二次函数，所以 0a ，又 2( 2) ( 2) ( 2) 0f a b− = − + − = , 高三数学参考答案 第4页 共 8 页
所以 2ba= ， ………… 1 分
所以 2( ) 2f x ax ax=+，又 ()f x x= 有两个相等实根，即 2 (2 1) 0ax a x+ − = ( 0a )有两个相
等实根，
所以 2(2 1) 4 0 0aa = − − = ，所以 1 ,2a = ………… 2 分
从而 21() 2f x x x=+. ………… 3 分
(2)由(1)知， 21() 2f x x x=+，所以不等式 3() 2fx 即为 213
22xx+ ，解得 31x− .… 5 分
(3)由(1)知， 21() 2f x x x=+，所以不等式 ()f x t x−即为 21 ( ) ( )2 x t x t x− + − ,……… 6 分
化简得 2( ) 2x t t−，又由于 2( ) 0xt−，所以 20t , ………… 7 分
从而不等式 2( ) 2x t t−的解集为{ 2 2 }x t t x t t− +
………… 8 分
又由于当且仅当 4,xm 时， ()f x t x− ≤ 恒成立，即不等式 ()f x t x− ≤ 的解集为
{ 4 }x x m ，………… 10 分
所以 24tt−=且 2t t m+=，从而解得 8, 12.tm== ………… 12 分
(注：如用方程与不等式的关系，从 4 是对应方程的一个根入手，先解出 t，再代入求出 m，
相应给分.)
22．(本小题满分 12 分)
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