八年级数学
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冀教
]
第
二十
章 函 数
学习新知
检测反馈
20.1
常量和变量
学 习 新 知
问题思考
火车行驶的里程随着时间的变化而变化
,
一天的温度随着时间的变化而变化
,
像这样
,
在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在
.
函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型
.
今天我们首先来学习——
20
.
1
常量和变量
.
活动
1
尝试探究
一起探究
1
.
小明在上学的途中
,
骑自行车的平均速度为
300
m/min
.
(1)
填写下表
:
(2)
在这个问题中
,
哪些量是不变的
,
哪些量是变化的
?
变化的量之间存在着怎样的关系
?
2
.
桃园村办企业去年的总收入是
25000
万元
,
计划从今年开始逐年增加收入
3500
万元
.
在这个问题中
,
一共有几个量
?
其中哪些量是不变的
,
哪些量是变化的
?
变化的量之间存在着怎样的关系
?
3
.
类似地
,
请你再举出两个实际问题的例子
,
并分别说明它们各含有几个不同的量
,
其中哪些量是不变的
,
哪些量是变化的
.
观察、讨论
,
解释每个题中变化的量和不变的量
.
在问题
1
中
,
共有三个量
,
其中平均速度
300
m/min
是不变的量
,
路程和时间都是变化的量
,
它们之间满足关系
s
=300
t.
在问题
2
中
,
共有四个量
,
即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入
.
其中
,
去年的总收入
25000
万元和以后每年增加的收入
3500
万元都是不变的量
,
第几年和第几年的总收入都是变化的量
.
如果用
n
(
n
取正整数
)
表示从今年起的第
n
年
,
用
W
表示第
n
年的总收入
,
那么它们之间满足关系
W
=25000+3500
n.
在一个变化过程中
,
可以取不同数值的量叫做变量
,
而数值保持不变的量叫做常量
.
特别强调
:
(1)
常量与变量必须存在于一个变化过程中
.
(2)
判断一个量是常量还是变量
,
需
:
①
看它是否在一个变化的过程中
;
②
看它在这个变化过程中的取值情况
.
1
.
电影票的售价为
10
元
/
张
,
第一场售出
150
张票
,
第二场售出
205
张票
,
第三场售出
310
张票
,
三场电影的票房收入各为多少元
?
设一场电影售票
x
张
,
票房收入
y
元
.
怎样用含
x
的式子表示
y
?
第一场电影票房收入
:
150×10=1500
(
元
);
第二场电影票房收入
:
205×10=2050
(
元
);
第三场电影票房收入
:
310×10=3100
(
元
)
.
关系式
:
y
=10
x
.
2
.
你见过水中的涟漪吗
?
如右图所示
,
圆形水波慢慢地扩大
.
在这一过程中
,
当圆的半径
r
分别为
10 cm,20 cm,30 cm
时
,
圆的面积
S
分别为多少
?
用含
r
的式子表示
S.
当
r
=10 cm
时
,
S
=10
2
π=100π(cm
2
);
当
r
=20 cm
时
,
S
=20
2
π=400π(cm
2
);
当
r
=30 cm
时
,
S
=30
2
π=900π(cm
2
)
.
关系式
:
S
=π
r
2
.
3
.
用
10 m
长的绳子围成一个矩形
.
当矩形的一边长
x
分别为
3 m,3.5 m,
4 m,4.5 m
时
,
它的邻边长
y
分别为多少
?
用含
x
的式子表示
y.
当边长为
3 m
时
,
邻边长
y
为
5-3=2(m);
当边长为
3
.
5 m
时
,
邻边长
y
为
5-3
.
5=1
.
5(m);
当边长为
4 m
时
,
邻边长
y
为
5-4=1(m);
当边长为
4
.
5 m
时
,
邻边长
y
为
5-4
.
5=0
.
5(m)
.
关系式
:
y
=5-
x.
通过上述活动
,
我们清楚地认识到
,
要想寻求事物变化过程的规律
,
首先需确定在这个过程中哪些量是变化的
,
而哪些量又是不变的
.
在一个变化过程中
,
可以取不同数值的量为变量
,
数值始终不变的量称之为常量
.
如上述四个过程中
,
时间
t
、里程
s
、售出票数
x
、票房收入
y
、圆的半径
r
、圆的面积
S
、矩形一边长
x
、其邻边长
y
都是变量
.
而速度
60
千米
/
时、票价
10
元
/
张、圆周率
π
、绳长
10 m
都是常量
.
活动
2
巩固练习
做一做
在下列各问题中
,
分别各有几个量
,
其中哪些量是常量
,
哪些量是变量
?
这些量之间具有怎样的关系
?
(1)
每张电影票的售价为
10
元
.
某日共售出
x
张票
,
票房收入为
y
元
.
(2)
一台小型台秤最大称重为
6 kg,
每添加
0
.
1 kg
重物
,
指针就转动
6°
的角
,
添加重物质量为
m
kg
时
,
指针转动的角度为
α.
(3)
用
10 m
长的绳子围成一个长方形
.
小明发现不断改变长方形的长
x
(m)
的大小
,
长方形的面积
S
(m
2
)
就随之有规律地发生变化
.
答案
:(1)
有三个量
,10
元是常量
,
x
张和
y
元是变量
,
y
=10
x.
(2)
有五个量
,6 kg,0
.
1 kg
和
6°
是常量
,
m
kg
和
α
是变量
,
α
=60
m.
(3)
有三个量
,10 m
是常量
,
x
和
S
是变量
,
S
=
x
(5-
x
)
.
检测反馈
1
.
在圆周长计算公式
C
=2π
r
中
,
对半径不同的圆
,
变量有
(
)
A
.C
,
r
B
.C
,π,
r
C
.C
,π
r
D
.C
,2π,
r
解析
:
直接利用在一个变化的过程中
,
数值发生变化的量称为变量
,
数值始终不变的量称为常量
,
进而得出在圆周长计算公式
C
=2π
r
中
,
对半径不同的圆
,
变量有
C
,
r.
故选
A
.
A
解析
:∵
篱笆的总长为
60
m
,∴
周长
p
是定值
,
而面积
S
和一边长
a
是变量
.
故选
B
.
2
.
如果用总长为
60 m
的篱笆围成一个长方形场地
,
设长方形的面积为
S
(m
2
),
周长为
p
(m),
一边长为
a
(m),
那么
S
,
p
,
a
中是变量的是
(
)
A
.S
和
p
B
.S
和
a
C
.p
和
a
D
.S
,
p
,
a
B
3
.
某人要在规定的时间内加工
100
个零件
,
则工作效率
η
与时间
t
之间的关系中
,
下列说法正确的是
(
)
A
.
数
100
和
η
,
t
都是变量
B
.
数
100
和
η
都是常量
C
.η
和
t
是变量
D
.
数
100
和
t
都是常量
解析
:
根据变量和常量的定义可知
η
和
t
是变量
,
零件的个数
100
是常量
.
故选
C
.
C
4
.
在三角形面积公式
S
=
ah
,
a
=2 cm
中
,
下列说法正确的是
(
)
A.
S
,
a
是变量
,
h
是常量
B.
S
,
h
是变量
,
是常量
C.
S
,
h
是变量
,
a
是常量
D.
S
,
h
,
a
是变量
,
是常量
解析
:
在三角形面积公式
S
=
ah
,
a
=2 cm
中
,
a
的值保持不变
,
它是常量
,
h
和
S
是变量
.
故选
C
.
C
5
.
林老师骑摩托车到加油站加油
,
发现每个加油器上都有三个量
,
其中一个表示“元
/
升”
,
其数值固定不变
,
另外两个量分别表示“数量”“金额”
,
数值一直在变化
,
在这三个量当中
是常量
,
是变量
.
解析
:
常量就是在变化过程中不变的量
,
变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量
.
元
/
升
数量、金额
6
.
汽车行驶的路程
s
、行驶时间
t
和行驶速度
v
之间有下列关系
:
s
=
vt.
如果汽车以每小时
60 km
的速度行驶
,
那么在
s
=
vt
中
,
变量是
,
常量是
;
如果汽车行驶的时间
t
规定为
1
小时
,
那么在
s
=
vt
中
,
变量是
,
常量是
;
如果甲、乙两地的路程
s
为
200 km,
汽车从甲地开往乙地
,
那么在
s
=
vt
中
,
变量是
,
常量是
.
解析
:
根据在一个变化的过程中
,
数值发生变化的量称为变量
,
数值始终不变的量称为常量解答
.
s
,
t
60
s
,
v
1
v
,
t
200
7
.
齿轮每分钟
120
转
,
如果
n
表示转数
,
t
表示转动时间
.
(1)
用
n
的代数式表示
t
;
(2)
说出其中的变量与常量
.
解析
:
(1)
根据题意可得转数
=
每分钟
120
转
×
时间
;(2)
根据变量和常量的定义
:
在一个变化的过程中
,
数值发生变化的量称为变量
,
数值始终不变的量称为常量
,
可得
t,n
是变量
.
解
:
(1)
由题意得
120
t
=
n
,
即
t
=
.
(2)
变量
:
t
,
n
,
常量
:120
.
8
.
说出下列各个过程中的变量与常量
.
(1)
我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需
106
分钟
,
t
分钟内卫星绕地球的周数为
N
,
N
= ;
(2)
矩形的长为
2 cm,
它的面积
S
(cm
2
)
与宽
a
(cm)
的关系式是
S
=2
a.
解析
:
根据常量是在某一变化过程中保持不变的量
,
变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量
,
对各小题分析判断即可得解
.
解
:(1)
N
和
t
是变量
,106
是常量
.
(2)
S
和
a
是变量
,2
是常量
.