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第 2 课时 垂线（ 1 ） 第五章 相交线与平行线 目录 contents 课前小测 课堂精讲 课后作业 1. 两条直线互相垂直时，所得的四个角中有 __________ 个直角 . 2. 在 平面内，过一点 条直线与已知直线垂直 . 3. 如图，直线 EO ⊥ CD ，垂足为点 O ， AB 平分∠ EOD ，则∠ BOD 的度数为（　　） A ． 120° B ． 130° C ． 135° D ． 140° 4 同一 有且只有一 C 课 前 小 测 4 ．如图，点 O 在直线 AB 上且 OC ⊥ OD ．若∠ COA=36° ，则∠ DOB 的大小为（　　） 　 A ． 36° B ． 54° C ． 64° D ． 72°   B 课 前 小 测 知识点 1. 垂线的定义 【 例 1】 如图，三条直线相交于点 O ．若 CO ⊥ AB ，∠ 1=56° ，求∠ 2 。 1 ．如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，射线 OM 平分∠ AOC ， ON ⊥ OM ，若∠ AOM =35° ，则∠ CON 的度数为（　　） A ． 35°B ． 45° C ． 55° D. 65° ∵ CO ⊥ AB ，∠ 1=56° ， ∴∠ 3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34° ， ∴∠ 2= ∠ 3=34° ． C 课 堂 精 讲 类 比 精 练 知识点 2. 垂线的画法 【 例 2 】 如图，过点 A 、 B 分别画 OB 、 OA 的垂线 如图，直线 AE 为过点 A 与 OB 垂直的直线，垂足为 E; 直线 BD 为过点 B 与 OA 垂直的直线，垂足为 D. 课 堂 精 讲 2 ．已知直线 AB ， CB ， l 在同一平面内，若 AB ⊥ l ，垂足为 B ， CB ⊥ l ，垂足也为 B ，则符合题意的图形可以是（　　） 3 ．已知∠ AOB 和 OA 上一点 P ，用三角板按下列语句画图： 过 P 分别画 PC ⊥ OA ，交 OB 于 C ； 过 P 分别画 PD ⊥ OB ，垂足是 D ． C 如图所示： 类 比 精 练 4. 如图，∠ PQR 等于 138° ， SQ ⊥ QR ， TQ ⊥ PQ 则∠ SQT 等于 ( ) A.42° B.64° C.48° D.24° 5. 如图所示， AB 、 CD 相交于点 O ， OE ⊥ AB ，那么下列结论错误的是 ( ) A. ∠ AOC 与∠ COE 互为余角 B. ∠ BOD 与∠ COE 互为余角 C. ∠ COE 与∠ BOE 互为补角 D. ∠ AOC 与∠ BOD 是对顶角 A C 课 后 作 业 6. 如果 CD ⊥ AB 于 D ，自 CD 上任一点向 AB 作垂线，那么所画垂 线均与 CD 重合，这是因为 ___ _ ____. 7 ．如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE ⊥ AB ，∠ BOD =20° ，则∠ COE 等于 过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 . 　 70° 课 后 作 业 8 ．如图， AB ⊥ CD ，垂足为点 B ， EF 平分∠ ABD ，则∠ CBF 的度数为 　 　 9. 从钝角∠ AOB 的顶点 O 引射线 OC ⊥ OA ，若∠ ACO ∶∠ COB=3 ∶ 1 ，则∠ AOB=________. 120° 45° 课 后 作 业 10 ． 已知：如图， O 是直线 AB 上一点， OB 是∠ COD 的平分线， OC ⊥ OE ，∠ AOD=145° ．求∠ AOE 的度数． 解：∠ BOD=180°- ∠ AOD =180°-145°=35° ∴∠ COB= ∠ BOD=35° ∵ CO ⊥ OE ∴∠ COE=90° ∴∠ AOE=180°- （∠ COB+ ∠ COE ） =180°- （ 35°+90° ） =55° 课 后 作 业 11 ．如图所示，直线 AB ， CD 相交于点 O ， P 是 CD 上一点． （ 1 ）过点 P 画 AB 的垂线 PE ，垂足为 E ． （ 2 ）过点 P 画 CD 的垂线，与 AB 相交于 F 点． （ 3 ）比较线段 PE ， PF ， PO 三者的大小关系 能 力 提 升 （ 1 ）（ 2 ）如图所示； （ 3 ） PO>PF>PE 12. 如图，点 O 为直线 AB 上一点， OC 为一射线， OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOC (1) 若∠ BOC=50° ，试探究 OE 、 OF 的位置关系； (2) 若∠ BOC=α(0 ° ＜ x ＜ 180°) ， (1) 中 OE 、 OF 的位置关系是否仍成立 ? 请说明理由，由此你发现了什么规律 ? 能 力 提 升 (1) 由量角器测得∠ EOF=90°, 因此 OE ⊥ OF. 由邻补角的定义，可得∠ AOC=180° －∠ BOC=130°. 由 OE 平分∠ AOC ， OF 平分∠ BOC 可得∠ COF= ∠ BOC=25° ， ∠ COE= ∠ AOC=65°. 所以∠ EOF= ∠ COF+ ∠ COE=90°. 因此 OE ⊥ OF. (2)OE ⊥ OF 仍成立 . 因为∠ AOC=180° － α ，∠ COF= α ， ∠ COE= (180° － α)=90° － α. 所以∠ EOF= ∠ COF+ ∠ COE= α+(90° － α)=90°. 由此发现 : 无论∠ BOC 度数是多少，∠ EOF 总等于 90°. 即邻补角的平分线互相垂直 . 13 ．（ 2016 南通）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O ， OE ⊥ AB ，∠ COE=60° ，则∠ BOD 等于 　 　 度． 挑 战 中 考 30 谢 谢 观 看 ！