0
1
知识要点
·
归纳
第
23
讲 圆的相关概念及性质
1
．
圆的有关概念
知识点一 圆的有关概念及性质
线段
弦
弦定义
连接圆上任意两点的
①
_____
_____
叫做弦
直径
经过
②
_____
_____
的弦叫做直径；直径是圆内最
③
_____
_____
的弦，直径等于
④
_____
_____
的
2
倍
圆心
长
半径
2
3
2.
圆的有关性质
(1)
轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条⑤
_____
_____
所在的直线都是圆的对称轴．
(2)
中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是⑥
_____
_____
.
(3)
圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转⑦
_____
_____
角度，都能与原来的图形重合．
直径
圆心
任意
4
1
．
定理
知识点二 圆周角定理及其推论
一半
5
【
易错警示
】
由于圆中一条弦对应两段弧，故若题干中并未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下：
6
2
．
推论
相等
直角
直径
∠2
90°
7
8
1
．圆内接四边形的对角①
_____
_____
.
如图，∠
A
＋∠
BCD
＝
180°
；
2
．圆内接四边形的任意一个外角等于它的②
_____
_____
(
和它相邻的内角的对角
)
．
如图，∠
DCE
＝③
_____
_____
.
知识点三 圆内接四边形及其性质
互补
内对角
∠
A
9
1
．
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧①
_____
___
，所对的弦也②
_____
___
.
2
．
推论
(1)
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角③
_____
_____
，所对的弦也④
_____
_____
.
(2)
在同圆或等圆中，如果两条弦⑤
_____
_____
，那么它们所对的圆心角⑥
_____
_____
，所对的弧也相等．
知识点四 弧、弦、圆心角的关系
相等
相等
相等
相等
相等
相等
10
1
．
定理
垂直于弦的直径①
_____
_____
弦，并且②
_____
_____
弦所对的两条弧．
2
．
推论
平分弦
(
不是直径
)
的直径③
_____
_____
于弦，并且④
_____
_____
弦所对的两条弧．
知识点五 垂径定理及其推论
平分
平分
垂直
平分
11
【
易错警示
】
由于圆内两条平行弦可以在圆心的同侧或异侧，故若题干中并未给出两条平行弦的位置，而要求圆中两条平行弦间的距离时，就要分情况讨论，再利用垂径定理进行计算，图形如下：
12
13
云南
5
年真题
·
精选
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14
例
1
(2018
·
张家界
)
如图，
AB
是⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，
OC
＝
5 cm
，
CD
＝
8 cm
，则
AE
＝
(
)
A
．
8 cm B
．
5 cm
C
．
3 cm D
．
2 cm
重难点
·
突破
重难点
1
垂径定理及其推论的相关计算
重点
A
15
16
解题技巧
17
(2)
运用垂径定理解题时应注意：
①
两条辅助线：过圆心作弦的垂线；连接圆心和弦的一端
(
即半径
)
，这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理或锐角三角函数求解；
②
方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为
x
，利用勾股定理构造关于
x
的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路．另外，在圆中求线段长，三角形相似也是常用的方法．
18
C
19
例
2
(2018
·
杭州
)
如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
是半径
OA
的中点，过点
C
作
DE
⊥
AB
，交⊙
O
于
D
，
E
两点，过点
D
作直径
DF
，连接
AF
，则∠
DFA
＝
_____
_____
.
重难点
2
圆周角定理及其推论的相关计算
重点
30°
20
(1)
圆中通常将圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，常用公式为：同弧
(
或等弧
)
所对的圆周角等于圆心角的一半．
(2)
根据半径相等构造等腰三角形，利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算．
(3)
当出现直径时，常构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．
方法指导
21
2
．
(2018
·
聊城
)
如图，⊙
O
中，弦
BC
与半径
OA
相交于点
D
，连接
AB
，
OC
．
若∠
A
＝
60°
，∠
ADC
＝
85°
，则∠
C
的度数是
(
)
A
．
25° B
．
27.5°
C
．
30° D
．
35°
D
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