第23讲.doc

0 1 知识要点 · 归纳 第 23 讲　圆的相关概念及性质 1 ． 圆的有关概念 知识点一　圆的有关概念及性质 线段 弦 弦定义 连接圆上任意两点的 ① _____ _____ 叫做弦 直径 经过 ② _____ _____ 的弦叫做直径；直径是圆内最 ③ _____ _____ 的弦，直径等于 ④ _____ _____ 的 2 倍 圆心 长 半径 2 3 2. 圆的有关性质 (1) 轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条⑤ _____ _____ 所在的直线都是圆的对称轴． (2) 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是⑥ _____ _____ . (3) 圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转⑦ _____ _____ 角度，都能与原来的图形重合． 直径 圆心 任意 4 1 ． 定理 知识点二　圆周角定理及其推论 一半 5 【 易错警示 】 　由于圆中一条弦对应两段弧，故若题干中并未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下： 6 2 ． 推论 相等 直角 直径 ∠2 90° 7 8 1 ．圆内接四边形的对角① _____ _____ . 如图，∠ A ＋∠ BCD ＝ 180° ； 2 ．圆内接四边形的任意一个外角等于它的② _____ _____ ( 和它相邻的内角的对角 ) ． 如图，∠ DCE ＝③ _____ _____ . 知识点三　圆内接四边形及其性质 互补 内对角 ∠ A 9 1 ． 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧① _____ ___ ，所对的弦也② _____ ___ . 2 ． 推论 (1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角③ _____ _____ ，所对的弦也④ _____ _____ . (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦⑤ _____ _____ ，那么它们所对的圆心角⑥ _____ _____ ，所对的弧也相等． 知识点四　弧、弦、圆心角的关系 相等 相等 相等 相等 相等 相等 10 1 ． 定理 垂直于弦的直径① _____ _____ 弦，并且② _____ _____ 弦所对的两条弧． 2 ． 推论 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径③ _____ _____ 于弦，并且④ _____ _____ 弦所对的两条弧． 知识点五　垂径定理及其推论 平分 平分 垂直 平分 11 【 易错警示 】 　由于圆内两条平行弦可以在圆心的同侧或异侧，故若题干中并未给出两条平行弦的位置，而要求圆中两条平行弦间的距离时，就要分情况讨论，再利用垂径定理进行计算，图形如下： 12 13 云南 5 年真题 · 精选 请点击此处进入 WORD 文档 14 例 1 　 (2018 · 张家界 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E ， OC ＝ 5 cm ， CD ＝ 8 cm ，则 AE ＝ ( 　　 ) A ． 8 cm B ． 5 cm C ． 3 cm D ． 2 cm 重难点 · 突破 重难点 1 　垂径定理及其推论的相关计算　 重点 A 15 16 解题技巧  17 (2) 运用垂径定理解题时应注意： ① 两条辅助线：过圆心作弦的垂线；连接圆心和弦的一端 ( 即半径 ) ，这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理或锐角三角函数求解； ② 方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为 x ，利用勾股定理构造关于 x 的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路．另外，在圆中求线段长，三角形相似也是常用的方法． 18 C 19 例 2 　 (2018 · 杭州 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE ⊥ AB ，交⊙ O 于 D ， E 两点，过点 D 作直径 DF ，连接 AF ，则∠ DFA ＝ _____ _____ . 重难点 2 　圆周角定理及其推论的相关计算　 重点 30° 20 (1) 圆中通常将圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，常用公式为：同弧 ( 或等弧 ) 所对的圆周角等于圆心角的一半． (2) 根据半径相等构造等腰三角形，利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算． (3) 当出现直径时，常构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算． 方法指导  21 2 ． (2018 · 聊城 ) 如图，⊙ O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D ，连接 AB ， OC ． 若∠ A ＝ 60° ，∠ ADC ＝ 85° ，则∠ C 的度数是 ( 　　 ) A ． 25° B ． 27.5° C ． 30° D ． 35° D 22 请点击此处进入 WORD 文档 201 9 权威 · 预测