第十八章 小结与复习.ppt

18.2.3 正方形 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念 . 2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 .( 重点、难点 ) 3 .会应用正方形 的性质解决相关 证明及计算 问题 . （难点） 导入新课 观察下面图形 , 正 方形是我们熟悉的几何图形， 在 生活中无处不在 . 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题 1 ： 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 . 归纳总结 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证：正方形 ABCD 四边相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴∠ A =90° , AB = AC （正方形的定义） . 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形（矩形的定义） , 正方形是菱形 ( 菱形的定义 ). ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90° , AB= BC = CD = AD . 证一证 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 ： AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = BO = CO = DO . ∵ 正方形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   正方 形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质： 1. 正方形的四个角都是直角 , 四条边相等 . 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 归纳总结 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . A D C B O 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的 等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . 典例精析 例 2 如图，在正方形 ABCD 中， Δ BEC 是等边三角形， 求证： ∠ EAD ＝∠ EDA ＝ 15° . 证明：∵ Δ BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC ,∠ EBC =∠ ECB =60 °， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD ,∠ ABC =∠ DCB =90 °， ∴ AB = BE = CE = CD , ∠ ABE = ∠ DCE =30 °， ∴△ ABE ，△ DCE 是等腰三角形， ∴∠ BAE = ∠ BEA = ∠ CDE = ∠ CED =75 °， ∴∠ EAD = ∠ EDA =90 ° -75 ° =15 ° . 【变式题 1 】 四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边作等边 △ ADE ，求 ∠ BEC 的大小． 解：当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图 ① ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150°. ∴∠ AEB ＝ 15°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 15°. ∴∠ BEC ＝ 60° － 15° － 15° ＝ 30° ； 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图 ② ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， ∴∠ AEB ＝ 75°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 75°. ∴∠ BEC ＝ 360° － 75° － 75° － 60° ＝ 150°. 综上所述， ∠ BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ ADE 在正方形的外部或在正方形的内部． 【变式题 2 】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB ， PB = PC ，连接 AC 、 PD ． （1）求证：△ APB ≌ △ DPC ； 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABC =∠ DCB =90°． ∵ PB = PC ， ∴∠ PBC =∠ PCB ． ∴∠ ABC -∠ PBC =∠ DCB -∠ PCB ， 即∠ ABP =∠ DCP ． 又∵ AB = DC ， PB = PC ， ∴△ APB ≌ △ DPC ． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAC =∠ DAC =45°． ∵△ APB ≌ △ DPC ， ∴ AP = DP ． 又∵ AP = AB = AD ， ∴ DP = AP = AD ． ∴△ APD 是等边三角形． ∴∠ DAP =60°． ∴∠ PAC =∠ DAP -∠ DAC =15°． ∴∠ BAP =∠ BAC -∠ PAC =30°． ∴∠ BAP =2∠ PAC ． （2） 求证： ∠ BAP =2∠ PAC ． 例 3 如图，在正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE⊥BC 于 E ， PF ⊥ DC 于 F . 试说明： AP = EF . A B C D P E F 解 : 连接 PC ， AC . 又 ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90°, AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明 . 归纳 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 练一练 3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AO ＝ 2 ，求正方形的周长与面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD ， OA ＝ OD ＝ 2. 在 Rt△ AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 正方形的周长为 4 AD ＝ ， 面积为 AD 2 ＝ 8. 2. 一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A . 2cm 2 B . 4cm 2 C . 6cm 2 D . 8cm 2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3 ．在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 4. 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 AE=AB ，则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 3 题图 第 4 题图 45° 5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm ， AC 为对角线， AE 平分 ∠ BAC ， EF ⊥ AC ，求 BE 的长． 解： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ B ＝ 90° ， ∠ ACB ＝ 45° ， AB ＝ BC ＝ 1cm. ∵ EF ⊥ AC ， ∴∠ EFA ＝ ∠ EFC ＝ 90°. 又 ∵∠ ECF ＝ 45° ， ∴△ EFC 是等腰直角三角形， ∴ EF ＝ FC . ∵∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∠ B ＝ ∠ EFA ＝ 90° ， AE ＝ AE ， ∴△ ABE ≌ △ AFE ， ∴ AB ＝ AF ＝ 1cm ， BE ＝ EF . ∴ FC ＝ BE . 在 Rt△ ABC 中， ∴ FC ＝ AC － AF ＝ ( － 1)cm ， ∴ BE ＝ ( － 1)cm ． 6. 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点， F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由 . 解： BE = DF ,且 BE ⊥ DF .理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC ,∠ BCE =90° . ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =90°. ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE=DF . A B D C F E 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF +∠ F =90° , ∴∠ CBE +∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . A B D F E C M 课堂小结 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 更多精彩视频内容，敬请关注微信公众号：我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源