18.2.3
正方形
第十八章 平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
1
课时 正方形的性质
学习目标
1.理解正方形的概念
.
2.
探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别
.(
重点、难点
)
3
.会应用正方形
的性质解决相关
证明及计算
问题
.
(难点)
导入新课
观察下面图形
,
正
方形是我们熟悉的几何图形,
在
生活中无处不在
.
情景引入
你还能举出其他的例子吗?
讲授新课
矩 形
〃
〃
问题
1
:
矩形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现?
问题引入
正方形的性质
正方形
问题
2
菱形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现?
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形
.
归纳总结
已知:如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
求证:正方形
ABCD
四边相等
,
四个角都是直角
.
A
B
C
D
证明:∵四边形
ABCD
是正方形
.
∴∠
A
=90°
,
AB
=
AC
(正方形的定义)
.
又∵正方形是平行四边形
.
∴
正方形是矩形(矩形的定义)
,
正方形是菱形
(
菱形的定义
).
∴∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
= 90°
,
AB= BC
=
CD
=
AD
.
证一证
已知:如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
对角线
AC
、
BD
相交于点
O
.
求证
:
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
AC
⊥
BD
.
A
B
C
D
O
证明:∵正方形
ABCD
是矩形
,
∴
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∵
正方形
ABCD
是菱形
.
∴
AC
⊥
BD
.
思考
请同学们拿出准备好的正方形纸片
,
折一折
,
观察并思考
.
正方
形是不是轴对称图形
?
如果是,那么对称轴有几条
?
对称性:
.
对称轴:
.
轴对称图形
4
条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形
,
也是特殊的矩形
,
也是特殊的菱形
.
所以矩形、菱形有的性质
,
正方形都有
.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:
性质:
1.
正方形的四个角都是直角
,
四条边相等
.
2.
正方形的对角线相等且互相垂直平分
.
归纳总结
例
1
求证
:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形
.
A
D
C
B
O
已知
:
如图
,
四边形
ABCD
是正方形
,
对角线
AC
、
BD
相
交于点
O
.
求证
: △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
是全等的
等腰直角三角形
.
证明
:
∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴
AC
=
BD
,
AC
⊥
BD
,
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∴ △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
都
是等腰直角三角形
,
并且
△
ABO
≌
△
BCO
≌
△
CDO
≌
△
DAO
.
典例精析
例
2
如图,在正方形
ABCD
中,
Δ
BEC
是等边三角形,
求证: ∠
EAD
=∠
EDA
=
15°
.
证明:∵
Δ
BEC
是等边三角形,
∴
BE
=
CE
=
BC
,∠
EBC
=∠
ECB
=60
°,
∵ 四边形
ABCD
是正方形,
∴
AB
=
BC
=
CD
,∠
ABC
=∠
DCB
=90
°,
∴
AB
=
BE
=
CE
=
CD
,
∠
ABE
=
∠
DCE
=30
°,
∴△
ABE
,△
DCE
是等腰三角形,
∴∠
BAE
=
∠
BEA
=
∠
CDE
=
∠
CED
=75
°,
∴∠
EAD
=
∠
EDA
=90
°
-75
°
=15
°
.
【变式题
1
】
四边形
ABCD
是正方形,以正方形
ABCD
的一边作等边
△
ADE
,求
∠
BEC
的大小.
解:当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
外部时,如图
①
,
AB
=
AE
,
∠
BAE
=
90°
+
60°
=
150°.
∴∠
AEB
=
15°.
同理可得
∠
DEC
=
15°.
∴∠
BEC
=
60°
-
15°
-
15°
=
30°
;
当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
内部时,如图
②
,
AB
=
AE
,
∠
BAE
=
90°
-
60°
=
30°
,
∴∠
AEB
=
75°.
同理可得
∠
DEC
=
75°.
∴∠
BEC
=
360°
-
75°
-
75°
-
60°
=
150°.
综上所述,
∠
BEC
的大小为
30°
或
150°.
易错提醒:因为等边△
ADE
与正方形
ABCD
有一条公共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△
ADE
在正方形的外部或在正方形的内部.
【变式题
2
】
如图,在正方形
ABCD
内有一点
P
满足
AP
=
AB
,
PB
=
PC
,连接
AC
、
PD
.
(1)求证:△
APB
≌
△
DPC
;
解:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴∠
ABC
=∠
DCB
=90°.
∵
PB
=
PC
,
∴∠
PBC
=∠
PCB
.
∴∠
ABC
-∠
PBC
=∠
DCB
-∠
PCB
,
即∠
ABP
=∠
DCP
.
又∵
AB
=
DC
,
PB
=
PC
,
∴△
APB
≌
△
DPC
.
证明:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴∠
BAC
=∠
DAC
=45°.
∵△
APB
≌
△
DPC
,
∴
AP
=
DP
.
又∵
AP
=
AB
=
AD
,
∴
DP
=
AP
=
AD
.
∴△
APD
是等边三角形.
∴∠
DAP
=60°.
∴∠
PAC
=∠
DAP
-∠
DAC
=15°.
∴∠
BAP
=∠
BAC
-∠
PAC
=30°.
∴∠
BAP
=2∠
PAC
.
(2)
求证:
∠
BAP
=2∠
PAC
.
例
3
如图,在正方形
ABCD
中,
P
为
BD
上一点,
PE⊥BC
于
E
,
PF
⊥
DC
于
F
.
试说明:
AP
=
EF
.
A
B
C
D
P
E
F
解
:
连接
PC
,
AC
.
又
∵
PE
⊥
BC
,
PF
⊥
DC
,
∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴∠
FCE
=90°,
AC
垂直平分
BD
,
∴
四边形
PECF
是矩形
,
∴
PC
=
EF
.
∴
AP
=
PC
.
∴
AP
=
EF
.
在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质,角平分线性质,等腰三角形等来说明
.
归纳
1.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是
( )
A.
四个角相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角互补
D.
对角线相等
2.
正方形具有而菱形不一定具有的性质( )
A.
四条边相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角线平分一组对角
D.
对角线相等
B
D
练一练
3.
如图,四边形
ABCD
是正方形,对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
AO
=
2
,求正方形的周长与面积.
解:
∵
四边形
ABCD
是正方形,
∴
AC
⊥
BD
,
OA
=
OD
=
2.
在
Rt△
AOD
中,由勾股定理,得
∴
正方形的周长为
4
AD
= ,
面积为
AD
2
=
8.
2.
一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是
( )
A
.
2cm
2
B
.
4cm
2
C
.
6cm
2
D
.
8cm
2
A
1.
平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3
.在正方形
ABC
中
,
∠
ADB
=
,
∠
DAC
=
,
∠
BOC
=
.
4.
在正方形
ABCD
中,
E
是对角线
AC
上一点,且
AE=AB
,则∠
EBC
的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第
3
题图
第
4
题图
45°
5.
如图,正方形
ABCD
的边长为
1cm
,
AC
为对角线,
AE
平分
∠
BAC
,
EF
⊥
AC
,求
BE
的长.
解:
∵
四边形
ABCD
为正方形,
∴∠
B
=
90°
,
∠
ACB
=
45°
,
AB
=
BC
=
1cm.
∵
EF
⊥
AC
,
∴∠
EFA
=
∠
EFC
=
90°.
又
∵∠
ECF
=
45°
,
∴△
EFC
是等腰直角三角形,
∴
EF
=
FC
.
∵∠
BAE
=
∠
FAE
,
∠
B
=
∠
EFA
=
90°
,
AE
=
AE
,
∴△
ABE
≌
△
AFE
,
∴
AB
=
AF
=
1cm
,
BE
=
EF
.
∴
FC
=
BE
.
在
Rt△
ABC
中,
∴
FC
=
AC
-
AF
=
(
-
1)cm
,
∴
BE
=
(
-
1)cm
.
6.
如图在正方形
ABCD
中
,
E
为
CD
上一点,
F
为
BC
边延长线上一点
,
且
CE
=
CF
.
BE
与
DF
之间有怎样的关系?请说明理由
.
解:
BE
=
DF
,且
BE
⊥
DF
.理由如下:
∵四边形
ABCD
是正方形.
∴
BC
=
DC
,∠
BCE
=90° .
∴∠
DCF
=180°
-
∠
BCE
=90°.
∴∠
BCE
=∠
DCF
.
又∵
CE
=
CF
.
∴△
BCE
≌
△
DCF
.
∴
BE=DF
.
A
B
D
C
F
E
延长
BE
交
DE
于点
M
,
∵
△
BCE
≌
△
DCF
,
∴∠
CBE =
∠
CDF
.
∵∠
DCF
=90°
,
∴∠
CDF
+∠
F
=90°
,
∴∠
CBE
+∠
F
=90°
,
∴∠
BMF
=90°.
∴
BE
⊥
DF
.
A
B
D
F
E
C
M
课堂小结
1.
四个角都是直角
2.
四条边都相等
3.
对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
.
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