【基础演练】
1．(2011·宁波)平面直角坐标系中，与点(2，－3)关于原点中心对称的点是( )
A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(－2，3) D．(2，3)
解析 根据关于坐标原点对称的点的坐标的规律：横纵坐标互为相反数，所以(2，－3)关于原点对称的点为(－2，3)．
答案 C
2．(2012·烟台)如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
解析 A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
答案 C
3．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( )
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解析 A是轴对称但不是中心对称；B、C既不是轴对称也不是中心对称，D既是轴对称也是中心对称．
答案 D
4. (2010·永州)如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是( )
解析 A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形空白处相同的形状．
答案 B
5．(2012·苏州)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是 ( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
解析 ∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA－∠A′OB′＝45°－15°＝30°.
答案 B
6. (2012·玉林)如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D
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＝________．
解析 ∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，BC＝BC′＝AC＝5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′＝5，
∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，
∴C′D∥BC，
∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′＝BC＝.
答案
【能力提升】
7．(2012·南通)如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于 ( )
A．2 011＋671 B．2 012＋671
C．2 013＋671 D．2 014＋671
解析 ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
AC＝1，∴AB＝2，BC＝，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2＋＋1＝3＋；又∵2 012÷3＝670…2，
∴AP2 012＝670(3＋)＋2＋＝2 012＋671.
答案 B
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8. (2012·无锡)如图，△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB＝________度．
解析 ∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的，
∴∠CAF＝60°；
又∵∠C＝30°(已知)，
∴在△AFC中，∠CFA＝180°－∠C－∠CAF＝90°，
∴∠AFB＝90°.
答案 90
9. 如图四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，点O是正方形ABCD两对角线的交点，已知AB＝2，EF＝3，正方形OEFG绕点O转动，OE交BC上一点N，OG交CD上一点M.求四边形OMCN的面积．
解 ∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交
于点O，
∴OB＝OC，∠4＝∠5＝45°，∠BOC＝90°，
即∠1＋∠2＝90°.
又∵四边形OEFG是正方形，
∴∠EOG＝90°，
即∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3.
在△BON和△COM中
∴△BON≌△COM(ASA)
∴S四边形OMCN＝S△ONC＋S△OCM＝S△ONC＋S△BON
＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×22＝1.
即四边形OMCN的面积为1.
10．(2012·莱芜)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是
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AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．
(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
解 (1)DB′＝EC′.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD＝AE＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′，
∴∠B′AD＝∠C′AE＝a，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，
在△B′AD和C′AE中，
∵
∴DB′＝EC′；
(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD＝AB＝AB′，
∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，
即旋转角α的度数为60°.
图 1
11. (2012·宿迁)(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到
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点E′处)连接DE′.
求证：DE′＝DE.
(2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠45°)．
求证：DE2＝AD2＋EC2.
图 2
(1)证明 ∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，
∴∠DBE′＝∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，
∵BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′
BD＝BD
∴△DBE≌△DBE′(SAS)，∴DE′＝DE.
(2)如图所示：把△CBE旋转90°，
连接DE′，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′＝EC，
∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，
∴∠DAE′＝90°，
在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2＋AD2，
∵AE′＝EC，
∴DE′2＝EC2＋AD2
同(1)可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2＋EC2.
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