第八讲 一元二次方程
课
前
必
读
考纲要求
1.
了解一元二次方程的概念;
2.
理解配方法,会用配方法解一元二次方程,能用配方法把二次三项式写成
(
x
+
m
)
2
+
n
的形式;
3.
会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解简单的数字系数的一元二次方程;
4.
了解一元二次方程中
b
2
-
4
ac
的作用和根与系数的关系
.
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考情分析
近三
年浙
江省
中考
情况
年份
考查点
题型
难易度
2010
年
解一元二次方程
(5
分
)
解答题
容易
2011
年
一元二次方程解的概念
(3
分
)
填空题
容易
2012
年
一元二次方程根的情况
(3
分
)
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选择题
容易
网
络
构
建
一般形式最重要
公式判别都对它
根与系数也是它
解法四种要清晰
直接开方显易见
先分解、后公式
特殊要求配方法
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考
点
梳
理
1
.一元二次方程
两边都是
_____
,只含有
_____
未知数,且未知数的最高次数是
___
次的方程是一元二次方程.
2
.一元二次方程的一般形式
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
,
b
,
c
为常数,
a___
)
,其中
____
叫做二次项,
___
叫做一次项,
__
叫做常数项;
__
叫做二次项的系数,
__
叫做一次项的系数.
一元二次方程的有关概念
整式
一个
二
≠0
ax
2
bx
c
a
b
名师助学
1
.一元二次方程是整式方程;
2
.一般式的右边为零,二次项的系数不为零;
3
.判断给定的一个整式方程是否是一元二次方程应先化为一般形式,再判断.
1
.因式分解法
一般步骤是:
(1)
将方程的右边化为
__
;
(2)
将方程的左边化成两个一次因式的
_____
形式;
(3)
让每个因式都等于
__
得到两个
_________
方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.
一元二次方程的解法
0
积的
0
一元一次
2
.直接开平方法
由方程
(
x
+
m
)
2
=
n
(
n
≥
0)
可得两个一元一次方程
________________________
,
所以
x
1
=
_________
,
x
2
=
_________
.
3
.配方法
用配方法解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠0)
的一般步骤:
(1)
化二次项的系数为
1
,即方程两边同
_____
二次项的系数;
(2)
移项:使二次项和一次项在方程的左边,常数项在右边;
(3)
配方:即方程两边都
_________________________
的平方;
(4)
化为
(
x
+
m
)
2
=
n
的形式的方程;
(5)
若
n
≥
0
,就可以用直接开平方法求出方程的解,若
n
<
0
,则原方程无实数解.
除以
加上一次项系数一半的平方
4
.公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)
化方程为
_____
形式;
(2)
明确二次项的系数,一次项的系数,常数项;
(3)
算出
________
,
(4)
当
________
≥
0
时,套用
x
=
______________
公式求解.
b
2
-
4
ac
b
2
-
4
ac
一般
名师助学
1
.后三种解法为一类,依据的是平方根的意义:
平方根→开平方法
↓
公式法←配方法
2
.因式分解法是一类,依据:若
ab
=
0
,则
a
=
0
或
b
=
0
;
3
.解一元二次方程的思想是降次,通过降次转化为一元一次方程.
5
.四种解法的选取
(1)
若方程易化为
x
2
=
a
或
(
mx
+
n
)
2
=
a
(
a
≥
0)
的形式,宜用
_________
.
(2)
若方程二次项系数为
1
,一次项系数是偶数,宜用
_______
.
(3)
若方程的右边为
0
,且左边易分解为两个一次式的积,则宜用
___________
.
(4)
若用配方法或分解因式法不简便时,宜用公式法.
开平方法
配方法
因式分解法
1
.当
b
2
-
4
ac
>
0
时,方程有
___________
的实数根;
2
.当
b
2
-
4
ac
=
0
时,方程有
_________
的实数根;
3
.当
b
2
-
4
ac
<
0
,方程
_____
实数根,以上三种情况反过来也成立.
一元二次方程根的三种情况
两个不相等
两个相等
没有
名师助学
1
.使用
b
2
-
4
ac
时一定要先将方程化为一般形式;
2
.
b
2
-
4
ac
的正、
0
、负三种情况与根的三种情况是等价的.
一元二次方程的根与系数的关系
名师助学
使用根与系数的关系的前提是
a
≠0
且
b
2
-
4
ac
≥
0
,这是确定一个方程是一元二次方程且有实数根的条件.
若关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠0)
有两实数根分别为
x
1
,
x
2
,那么
x
1
+
x
2
=
_____
,
x
1
·
x
2
=
___
.
对
接
中
考
常考角度
1
.一元二次方程的一般形式;
2
.一元二次方程解的意义;
3
.一元二次方程与其它类型方程的区别.
对接点一:一元二次方程的解及有关概念
【
例题
1】
已知
x
=
2
是一元二次方程
(
m
-
2)
x
2
+
4
x
-
m
2
=
0
的一个根,则
m
的值是
________
.
解析
将
x
=
2
代入方程,得:
4(
m
-
2)
+
8
-
m
2
=
0
化简,得
m
2
-
4
m
=
0
解得
m
1
=
0
,
m
2
=
4
当
m
=
0
时,
m
-
2≠0
当
m
=
4
时,
m
-
2≠0
∴填
0
或
4.
答案
0
或
4
1.
代入法是解决与方程的根有关问题的常见方法;
2
.牢记一元二次方程的二次项的系数永远不为零.
【
例题
2】
下列方程中,是关于
x
的一元二次方程的是
(
)
A
.
(
x
-
1)
2
=
2(
x
+
2)
C
.
(
a
-
2)
x
2
+
bx
+
c
=
0
D
.
x
2
-
2
x
=
x
2
-
1
答案
A
【
预测
1】
已知关于
x
的方程
x
2
+
bx
+
a
=
0
的一个根是-
a
(
a
≠0)
,则
a
-
b
的值为
(
)
A
.-
1 B
.
0 C
.
1 D
.
2
解析
把
x
=-
a
代入方程得:
a
2
-
ab
+
a
=
0
,∴
a
(
a
-
b
+
1)
=
0
,
∵
a
≠
0
,∴
a
-
b
+
1
=
0
,∴
a
-
b
=-
1.
答案
A
【
预测
2】
已知
x
=
1
是一元二次方程
x
2
+
mx
+
n
=
0
的一个根,则
m
2
+
2
mn
+
n
2
的值为
________
.
解析
把
x
=
1
代入方程,得
1
+
m
+
n
=
0
,
∴
m
+
n
=-
1
,
∴
m
2
+
2
mn
+
n
2
=
(
m
+
n
)
2
=
(
-
1)
2
=
1.
答案
1
常考角度
1
.用题目规定的方法解一元二次方程;
2
.选择适当的方法解一元二次方程.
对接点二:一元二次方程的解法
【
例题
3】 (2012·
温州
)
用配方法解方程:
x
2
-
2
x
=
5.
解
配方,得
x
2
-
2
x
+
1
=
5
+
1
即
(
x
-
1)
2
=
6
【
例题
4】 (2012·
莆田
)
用公式法解方程
2
x
2
+
3
x
=
1.
解
方程化为
2
x
2
+
3
x
-
1
=
0
a
=
2
,
b
=
3
,
c
=-
1
b
2
-
4
ac
=
3
2
-
4×2×(
-
1)
=
17
>
0
方程有两个不相等的实数根
1.
熟悉各种特点的一元二次方程的常见解法;
2
.灵活选择具体解法,在正确的基础上尽量做到简便、迅速.
【
例题
5】 (2012·
张家界
)
我们知道方程
(
x
-
1)(
x
-
2)
=
0
的两根为
x
1
=
1
,
x
2
=
2
,你能写出一个一元二次方程使它的两根分别为
0
,
3
吗?你写的方程为
________
.
答案
x
(
x
-
3)
=
0(
当然也可以填
x
2
-
3
x
=
0)
仿例题解题是近几年中考的一个方向,这要求我们一方面要准确掌握相关的知识,另一方面要理解给定例题的形式.
【
预测
3】
方程
x
(
x
-
1)
=
0
的解是
(
)
A
.
x
=
0 B
.
x
=
1
C
.
x
1
=
0
,
x
2
=
1 D
.
x
1
=
0
,
x
2
=-
1
解析
∵
x
(
x
-
1)
=
0
∴
x
=
0
或
x
-
1
=
0
∴
x
1
=
0
,
x
2
=
1.
答案
C
【
预测
4】
用配方法解方程
x
2
-
2
x
-
5
=
0
时,原方程应变形为
(
)
A
.
(
x
+
1)
2
=
6 B
.
(
x
+
2)
2
=
9
C
.
(
x
-
1)
2
=
6 D
.
(
x
-
2)
2
=
9
解析
移项,得
x
2
-
2
x
=
5
配方,得
x
2
-
2
x
+
1
=
6
即
(
x
-
1)
2
=
6.
答案
C
【
预测
5】
解方程:
x
(
x
-
2)
+
x
-
2
=
0.
解
提公因式
(
x
-
2)
,得
(
x
-
2)(
x
+
1)
=
0
∴
x
-
2
=
0
或
x
+
1
=
0
∴
x
1
=
2
,
x
2
=-
1.
常考角度
1
.利用
b
2
-
4
ac
的情况判别根的情况;
2
.利用根的情况与
b
2
-
4
ac
的关系确定字母的取值范围;
3
.利用根与系数的关系,不解方程,求关于两根的某些代数式的值.
对接点三:一元二次方程
ax
2
+bx+c=
0(a
≠
0
)
中的
b
2
-
4
ac
及根与系数的关系
【
例题
6】 (2012·
北京
)
已知关于
x
的一元二次方程
(
a
-
1)
x
2
-
2
x
+
1
=
0
有两个不相等的实数根,则
a
的取值范围是
(
)
A
.
a
<
2 B
.
a
>
2
C
.
a
<
2
且
a
≠1 D
.
a
<-
2
分析
判断一元二次方程根的情况,就要计算
b
2
-
4
ac
,然后列出不等式,解不等式,最后还要使
a
-
1≠0.
解析
∵
(
a
-
1)
x
2
-
2
x
+
1
=
0
有两个不相等的实数根,∴
4
-
4(
a
-
1)
>
0
,
∴
a
<
2
,又∵
a
-
1≠0
,
∴
a
≠
1
∴
a
<
2
且
a
≠1
,选
C.
答案
C
判别一元二次方程根的情况时,一定先将方程化为一般形式:
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠0)
,然后计算
b
2
-
4
ac
的值,再与
0
比较即可.
【
例题
7】 (2012·
攀枝花
)
已知一元二次方程
x
2
-
3
x
-
1
=
0
的两个根分别为
x
1
,
x
2
,则
x
1
+
x
2
+
x
1
·
x
2
的值是
(
)
A
.-
2 B
.
2 C
.-
6 D
.
6
分析
根据一元二次方程的根与系数的关系算出
x
1
+
x
2
和
x
1
·
x
2
,然后整体代入.
解析
∵
x
1
+
x
2
=
3
,
x
1
·
x
2
=-
1
∴
x
1
+
x
2
+
x
1
·
x
2
=
3
-
1
=
2
,故选
B.
答案
B
【
预测
6】
关于
x
的一元二次方程
x
2
-
(
m
-
2)
x
+
m
+
1
=
0
有两个相等的实数根,则
m
的值是
(
)
解析
∵
(
m
-
2)
2
-
4(
m
+
1)
=
0
∴
m
2
-
8
m
=
0∴
m
1
=
0
,
m
2
=
8.
答案
D
易
错
防
范
问题
1.
忽视化方程为一般形式;
问题
2.
忽视二次项的系数不为零的要求;
问题
3.
解方程时两边随意约去含未知数的公因式.
一元二次方程常见错误
【
例题
8】 (2012·
淮安
)
方程
x
2
=
3
x
的解为
(
)
A
.
x
=
0 B
.
x
1
=
0
,
x
2
=-
3
C
.
x
=
3 D
.
x
1
=
0
,
x
2
=
3
[
错解
]
C
[
错因分析
]
根据等式的性质
2
:方程两边都乘以或除以同一个不为零的数,等式仍成立,错解忽视了
x
的值为零的可能性,造成丢根.
[
正解
]
移项,得
x
2
-
3
x
=
0
,
因式分解,得
x
(
x
-
3)
=
0
∴
x
1
=
0
,
x
2
=
3
,故选
D.
方程两边不得随意约去含有未知数的公因式,因为当公因式的值为零时,就违背了等式的基本性质,所以方程两边约分时,一定要先确认公因式的值不为零.
【
例题
9】 (2012·
张家界
)
已知关于
x
的一元二次方程
ax
2
-
2
x
+
1
=
0
,有两个不相等的实数根,求
a
的取值范围.
[
错解
]
∵关于
x
的方程有两个不相等的实数根,∴
2
2
-
4×
a
×1
>
0
,解得
a
<
1.
[
错因分析
]
忽略了一元二次方程的条件
a
≠0.
[
正解
]
∵关于
x
的方程有两个不相等的实数根,
∴
2
2
-
4×
a
×1
>
0
,解得
a
<
1
,又∵
a
≠0
,∴
a
<
1
且
a
≠0.
方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
有两个不相等实数根的条件为
b
2
-
4
ac
>
0
且
a
≠0
,不得忽略二次项的系数不为零这个条件.
课
时
跟
踪
检
测
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