浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第八讲 一元二次方程》基础演练.doc

第八讲 一元二次方程 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解一元二次方程的概念； 2. 理解配方法，会用配方法解一元二次方程，能用配方法把二次三项式写成 ( x ＋ m ) 2 ＋ n 的形式； 3. 会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解简单的数字系数的一元二次方程； 4. 了解一元二次方程中 b 2 － 4 ac 的作用和根与系数的关系 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 解一元二次方程 (5 分 ) 解答题 容易 2011 年 一元二次方程解的概念 (3 分 ) 填空题 容易 2012 年 一元二次方程根的情况 (3 分 ) 学.科.网 选择题 容易 网 络 构 建 一般形式最重要 公式判别都对它 根与系数也是它 解法四种要清晰 直接开方显易见 先分解、后公式 特殊要求配方法 学.科.网 考 点 梳 理 1 ．一元二次方程 两边都是 _____ ，只含有 _____ 未知数，且未知数的最高次数是 ___ 次的方程是一元二次方程． 2 ．一元二次方程的一般形式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ， b ， c 为常数， a___ ) ，其中 ____ 叫做二次项， ___ 叫做一次项， __ 叫做常数项； __ 叫做二次项的系数， __ 叫做一次项的系数． 一元二次方程的有关概念 整式 一个 二 ≠0 ax 2 bx c a b 名师助学 1 ．一元二次方程是整式方程； 2 ．一般式的右边为零，二次项的系数不为零； 3 ．判断给定的一个整式方程是否是一元二次方程应先化为一般形式，再判断． 1 ．因式分解法 一般步骤是： (1) 将方程的右边化为 __ ； (2) 将方程的左边化成两个一次因式的 _____ 形式； (3) 让每个因式都等于 __ 得到两个 _________ 方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解． 一元二次方程的解法 0 积的 0 一元一次 2 ．直接开平方法 由方程 ( x ＋ m ) 2 ＝ n ( n ≥ 0) 可得两个一元一次方程 ________________________ ， 所以 x 1 ＝ _________ ， x 2 ＝ _________ ． 3 ．配方法 用配方法解一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 的一般步骤： (1) 化二次项的系数为 1 ，即方程两边同 _____ 二次项的系数； (2) 移项：使二次项和一次项在方程的左边，常数项在右边； (3) 配方：即方程两边都 _________________________ 的平方； (4) 化为 ( x ＋ m ) 2 ＝ n 的形式的方程； (5) 若 n ≥ 0 ，就可以用直接开平方法求出方程的解，若 n ＜ 0 ，则原方程无实数解． 除以 加上一次项系数一半的平方 4 ．公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1) 化方程为 _____ 形式； (2) 明确二次项的系数，一次项的系数，常数项； (3) 算出 ________ ， (4) 当 ________ ≥ 0 时，套用 x ＝ ______________ 公式求解． b 2 － 4 ac b 2 － 4 ac 一般 名师助学 1 ．后三种解法为一类，依据的是平方根的意义： 平方根→开平方法 　　　 ↓ 公式法←配方法 2 ．因式分解法是一类，依据：若 ab ＝ 0 ，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； 3 ．解一元二次方程的思想是降次，通过降次转化为一元一次方程． 5 ．四种解法的选取 (1) 若方程易化为 x 2 ＝ a 或 ( mx ＋ n ) 2 ＝ a ( a ≥ 0) 的形式，宜用 _________ ． (2) 若方程二次项系数为 1 ，一次项系数是偶数，宜用 _______ ． (3) 若方程的右边为 0 ，且左边易分解为两个一次式的积，则宜用 ___________ ． (4) 若用配方法或分解因式法不简便时，宜用公式法． 开平方法 配方法 因式分解法 1 ．当 b 2 － 4 ac ＞ 0 时，方程有 ___________ 的实数根； 2 ．当 b 2 － 4 ac ＝ 0 时，方程有 _________ 的实数根； 3 ．当 b 2 － 4 ac ＜ 0 ，方程 _____ 实数根，以上三种情况反过来也成立． 一元二次方程根的三种情况 两个不相等 两个相等 没有 名师助学 1 ．使用 b 2 － 4 ac 时一定要先将方程化为一般形式； 2 ． b 2 － 4 ac 的正、 0 、负三种情况与根的三种情况是等价的． 一元二次方程的根与系数的关系 名师助学 使用根与系数的关系的前提是 a ≠0 且 b 2 － 4 ac ≥ 0 ，这是确定一个方程是一元二次方程且有实数根的条件． 若关于 x 的一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 有两实数根分别为 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 ＋ x 2 ＝ _____ ， x 1 · x 2 ＝ ___ ． 对 接 中 考 常考角度 1 ．一元二次方程的一般形式； 2 ．一元二次方程解的意义； 3 ．一元二次方程与其它类型方程的区别． 对接点一：一元二次方程的解及有关概念 【 例题 1】 已知 x ＝ 2 是一元二次方程 ( m － 2) x 2 ＋ 4 x － m 2 ＝ 0 的一个根，则 m 的值是 ________ ． 解析 　将 x ＝ 2 代入方程，得： 4( m － 2) ＋ 8 － m 2 ＝ 0 化简，得 m 2 － 4 m ＝ 0 解得 m 1 ＝ 0 ， m 2 ＝ 4 当 m ＝ 0 时， m － 2≠0 当 m ＝ 4 时， m － 2≠0 ∴填 0 或 4. 答案 　 0 或 4 1. 代入法是解决与方程的根有关问题的常见方法； 2 ．牢记一元二次方程的二次项的系数永远不为零． 【 例题 2】 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是 ( 　　 ) A ． ( x － 1) 2 ＝ 2( x ＋ 2) C ． ( a － 2) x 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 D ． x 2 － 2 x ＝ x 2 － 1 答案 　 A 【 预测 1】 已知关于 x 的方程 x 2 ＋ bx ＋ a ＝ 0 的一个根是－ a ( a ≠0) ，则 a － b 的值为 ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 解析 　把 x ＝－ a 代入方程得： a 2 － ab ＋ a ＝ 0 ，∴ a ( a － b ＋ 1) ＝ 0 ， ∵ a ≠ 0 ，∴ a － b ＋ 1 ＝ 0 ，∴ a － b ＝－ 1. 答案 　 A 【 预测 2】 已知 x ＝ 1 是一元二次方程 x 2 ＋ mx ＋ n ＝ 0 的一个根，则 m 2 ＋ 2 mn ＋ n 2 的值为 ________ ． 解析 　把 x ＝ 1 代入方程，得 1 ＋ m ＋ n ＝ 0 ， ∴ m ＋ n ＝－ 1 ， ∴ m 2 ＋ 2 mn ＋ n 2 ＝ ( m ＋ n ) 2 ＝ ( － 1) 2 ＝ 1. 答案 　 1 常考角度 1 ．用题目规定的方法解一元二次方程； 2 ．选择适当的方法解一元二次方程． 对接点二：一元二次方程的解法 【 例题 3】 (2012· 温州 ) 用配方法解方程： x 2 － 2 x ＝ 5. 解 　配方，得 x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 5 ＋ 1 即 ( x － 1) 2 ＝ 6 【 例题 4】 (2012· 莆田 ) 用公式法解方程 2 x 2 ＋ 3 x ＝ 1. 解 　方程化为 2 x 2 ＋ 3 x － 1 ＝ 0 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝－ 1 b 2 － 4 ac ＝ 3 2 － 4×2×( － 1) ＝ 17 ＞ 0 方程有两个不相等的实数根 1. 熟悉各种特点的一元二次方程的常见解法； 2 ．灵活选择具体解法，在正确的基础上尽量做到简便、迅速． 【 例题 5】 (2012· 张家界 ) 我们知道方程 ( x － 1)( x － 2) ＝ 0 的两根为 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 2 ，你能写出一个一元二次方程使它的两根分别为 0 ， 3 吗？你写的方程为 ________ ． 答案 　 x ( x － 3) ＝ 0( 当然也可以填 x 2 － 3 x ＝ 0) 仿例题解题是近几年中考的一个方向，这要求我们一方面要准确掌握相关的知识，另一方面要理解给定例题的形式． 【 预测 3】 方程 x ( x － 1) ＝ 0 的解是 ( 　　 ) A ． x ＝ 0 B ． x ＝ 1 C ． x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 1 D ． x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ 1 解析 　∵ x ( x － 1) ＝ 0 ∴ x ＝ 0 或 x － 1 ＝ 0 ∴ x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 1. 答案 　 C 【 预测 4】 用配方法解方程 x 2 － 2 x － 5 ＝ 0 时，原方程应变形为 ( 　　 ) A ． ( x ＋ 1) 2 ＝ 6 B ． ( x ＋ 2) 2 ＝ 9 C ． ( x － 1) 2 ＝ 6 D ． ( x － 2) 2 ＝ 9 解析 　移项，得 x 2 － 2 x ＝ 5 配方，得 x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 6 即 ( x － 1) 2 ＝ 6. 答案 　 C 【 预测 5】 解方程： x ( x － 2) ＋ x － 2 ＝ 0. 解 　提公因式 ( x － 2) ，得 ( x － 2)( x ＋ 1) ＝ 0 ∴ x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1 ＝ 0 ∴ x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－ 1. 常考角度 1 ．利用 b 2 － 4 ac 的情况判别根的情况； 2 ．利用根的情况与 b 2 － 4 ac 的关系确定字母的取值范围； 3 ．利用根与系数的关系，不解方程，求关于两根的某些代数式的值． 对接点三：一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0(a ≠ 0 ) 中的 b 2 - 4 ac 及根与系数的关系 【 例题 6】 (2012· 北京 ) 已知关于 x 的一元二次方程 ( a － 1) x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． a ＜ 2 B ． a ＞ 2 C ． a ＜ 2 且 a ≠1 D ． a ＜－ 2 分析 　判断一元二次方程根的情况，就要计算 b 2 － 4 ac ，然后列出不等式，解不等式，最后还要使 a － 1≠0. 解析 　∵ ( a － 1) x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，∴ 4 － 4( a － 1) ＞ 0 ， ∴ a ＜ 2 ，又∵ a － 1≠0 ， ∴ a ≠ 1 ∴ a ＜ 2 且 a ≠1 ，选 C. 答案 　 C 判别一元二次方程根的情况时，一定先将方程化为一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) ，然后计算 b 2 － 4 ac 的值，再与 0 比较即可． 【 例题 7】 (2012· 攀枝花 ) 已知一元二次方程 x 2 － 3 x － 1 ＝ 0 的两个根分别为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 ＋ x 2 ＋ x 1 · x 2 的值是 ( 　　 ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－ 6 D ． 6 分析 　根据一元二次方程的根与系数的关系算出 x 1 ＋ x 2 和 x 1 · x 2 ，然后整体代入． 解析 　∵ x 1 ＋ x 2 ＝ 3 ， x 1 · x 2 ＝－ 1 ∴ x 1 ＋ x 2 ＋ x 1 · x 2 ＝ 3 － 1 ＝ 2 ，故选 B. 答案 　 B 【 预测 6】 关于 x 的一元二次方程 x 2 － ( m － 2) x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ( 　　 ) 解析 　∵ ( m － 2) 2 － 4( m ＋ 1) ＝ 0 ∴ m 2 － 8 m ＝ 0∴ m 1 ＝ 0 ， m 2 ＝ 8. 答案 　 D 易 错 防 范 问题 1. 忽视化方程为一般形式； 问题 2. 忽视二次项的系数不为零的要求； 问题 3. 解方程时两边随意约去含未知数的公因式． 一元二次方程常见错误 【 例题 8】 (2012· 淮安 ) 方程 x 2 ＝ 3 x 的解为 ( 　　 ) A ． x ＝ 0 B ． x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ 3 C ． x ＝ 3 D ． x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 3 [ 错解 ] 　 C [ 错因分析 ] 　根据等式的性质 2 ：方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，等式仍成立，错解忽视了 x 的值为零的可能性，造成丢根． [ 正解 ] 　移项，得 x 2 － 3 x ＝ 0 ， 因式分解，得 x ( x － 3) ＝ 0 ∴ x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 3 ，故选 D. 方程两边不得随意约去含有未知数的公因式，因为当公因式的值为零时，就违背了等式的基本性质，所以方程两边约分时，一定要先确认公因式的值不为零． 【 例题 9】 (2012· 张家界 ) 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围． [ 错解 ] 　∵关于 x 的方程有两个不相等的实数根，∴ 2 2 － 4× a ×1 ＞ 0 ，解得 a ＜ 1. [ 错因分析 ] 　忽略了一元二次方程的条件 a ≠0. [ 正解 ] 　∵关于 x 的方程有两个不相等的实数根， ∴ 2 2 － 4× a ×1 ＞ 0 ，解得 a ＜ 1 ，又∵ a ≠0 ，∴ a ＜ 1 且 a ≠0. 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有两个不相等实数根的条件为 b 2 － 4 ac ＞ 0 且 a ≠0 ，不得忽略二次项的系数不为零这个条件． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接