《垂直》教学设计与思考

《垂直》教学设计与思考 董林伟   发表核心期刊《中学数学教学参考》08第9期   江苏省07年初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动的课题是“空间与图形”部分的《垂直》。本节课所涉及的概念较多，有垂直、垂足、垂线、垂线段、点到直线的距离等，还涉及到如“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”、“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”等几何中的重要结论，学生在小学对垂直已经有了一些初步的体验和认识，本节课的教学目标应该是在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线垂直；会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作活动中探索、了解垂直的一些性质。 本节课留给教师教学设计创造的空间较大，不同的教师的生活工作背景的差异，对数学、教材、学生的理解的不同，采用的教学方案也有所不同，因此取得的效果也明显有差异。本文结合本次赛课的有关情况，介绍本节课重要环节的教学设计片段，并谈一点思考。 一、教学设计片段述评 1．关于垂直概念的教学设计 设计方案1  （1） 以庆祝国庆节为话题，通过展示两个“中”字引出课题。展示图片，让学生寻找“垂直”，感受生活中有数学。 （2）观察思考：展示两根木棒旋转的动画。       如果将两根木棒看作是两条相交的直线，在旋转过程中有哪些量在发生变化？会不会出现四个角都相等的特殊时刻？ 这时四个角相等，都是多少度呢？ （3）垂直的定义：让学生归纳定义，教师总结。 设计方案2 （1）情境创设  问题1：图片中有互相垂直的线吗？     问题2：生活中还有哪些线互相垂直？请举例说明。（丰富的情境让学生感受到数学来源于生活和数学在生活中的美，同时引导学生将生活图形抽象成数学图形。） （2）探索活动 说一说：教室内，哪些线互相垂直？ 做一做：按课本中图示的方法折叠长方形纸，量一量折痕与纸边所成角的度数。 提出问题：根据上面的操作活动，你认为应如何定义垂线 a b O ？通过前面的活动，你认为什么是垂直呢？ 如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。如图，记作a⊥b，交点O为垂足。当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （小学课本中已从实际问题引入并定义了垂线。在此处，仍应遵循从感性到理性的认知规律，通过折纸，让学生在实际活动中自觉体会到当两条直线相交时所成的角是直角，那么这两条直线位置关系就是互相垂直的。同时在活动过程中，发展有条理的思考与表达。） 数学源于生活。两种设计的共同特点是从学生身边熟悉的事物中选取学习素材，易于学生接受，激发学生的学习兴趣.让学生感受到生活中处处有数学. 方案1采用了相交直线旋转过程中所产生“垂直”的方式，让学生了解到垂直是相交的一种特殊情形；而方案2则采用折纸操作实验的方法，让学生从生活中的垂直抽象出数学的 “垂直”的含义。 2．             关于垂直性质的教学设计 设计方案1 （做一做）在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条互相垂直的折痕（直线）。现在请你折出一条与a垂直的折痕b（垂线）。 （想一想）这样的直线b有多少条？画一画，试验证你的结论。 如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？ 如图(6)：直线a外有一点B，经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？        通过以上操作你能得出什么结论?和你的伙伴交流,并用语言表达。 设计方案2 议一议：请学生观察地图。  问题1：图中有与人民路垂直的路吗？ 问题2：经过人民广场，并且和人民路垂直的路有几条？能再修一条吗？ 问题3：经过解放路与青年路的交叉口，并且和人民路垂直的路有几条？能再修一条吗？ 做一做： 问题1：经过直线a外一点P，你能画出直线a的垂线吗？这样的垂线能画几条？ 问题2：经过直线a上一点P，你能画出直线a的垂线吗？这样的垂线能画几条？ 让学生通过画图来验证前面的猜想，归纳得出：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。      探求垂线的性质是本节课的重点，也是难点。上述两种方案都采用了组织学生动手动脑活动的方式让学生获得体验、感受和经验，逐步形成数学结论。方案1通过折纸游戏强化对垂直定义的理解和掌握，在学生充分动手操作的过程中了解垂线的画法。对于七年级学段的学生而言，操作是发展空间观念的一个重要手段，可以引导学生通过实践积累数学活动的体验，尝试用几何语言表述，逐步掌握正确的学习方法。方案2则通过一连串的问题设置，让学生从熟悉的生活背景出发，借助地图直观地感受垂线的性质, 为探索与归纳垂线的性质作了铺垫；然后通过“做一做”，将实际问题数学化。） 3．关于点到直线的距离的教学设计 设计方案1  展示斑马线图形，让学生分组讨论： ⑴     小明要从人行横道的点A处横穿马路，怎样走线路最短？ 请画出最短路线。你能验证你的结论吗? ⑵     在点A处的小明与对面公路的距离是多少？要解决这个问题你觉得应该怎么办？ 设计方案2 如图,在铁路(直线EF)旁有一李庄,现在要修建火车站,为了使李庄的人乘车方便,火车站应该建在什么位置?  （利用“修建火车站”这一具体情境，教师先让学生猜想结论，然后用几何画板给学生演示，从中为“垂线段”、“垂线段最短”、“点到直线的距离”清晰地建立起概念。） 点到直线的距离同样是本节课的重点内容之一，两个案例都是通过生活中的实际问题引出垂线段，让学生初步感知“垂线段最短”，体现了数学与生活的联系．再通过观察、动手测量和动画演示让学生体会“垂线段最短”这一基本事实，然后给出点到直线的距离，并向学生指明点到直线的距离就是直线外一点到垂足的距离，让学生经历点到直线的距离转化为点到点的距离的过程中体会转化的思想．最后再通过比较，让学生知道垂线、垂线段、点到直线的距离的联系与区别． 4．关于数学运用的教学设计 设计方案1 （1）如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ， 应如何铺设排水管道，才能使用料最简，试画出铺设管道路线，并说明理由. （2）按要求画图并回答问题. 如图，P是∠AOB的边OB上一点。过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H. 你能否不通过度量比较出PH与PC、PC与CO的长短吗？说明你的理由. 设计方案2 问题1：立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？ 问题2：如图所示的各个三角形中,分别过点C画直线AB的垂线,并量出三角形顶点C到直线AB的距离. 两个方案均设计了两问。第一个问题是学生熟悉的、感兴趣的生活中用垂直的性质解决实际问题的事例，可以引导学生感受数学的现实性、有用性，并通过此例培养学生用数学的意识以及将实际问题转化为数学模型的能力，并让学生在实践活动中进一步明确“垂线”、“垂线段”、“点到直线的距离”的联系和区别。第二个问题则是数学内部的知识运用，围绕作图、识图，在实际操作中进一步明晰概念以及相关的作图方法，进一步加深学生对新知识的理解，培养学生创新精神和克服困难的勇气。   二、改进教学设计的思考与建议     从14节的同课异构的课堂教学中，我们总体上看到了新课程改革给初中数学课堂教学带来的可喜的变化：教师在关注知识传授的同时，注意到知识与生活的联系、知识发生的过程、学生的探究活动、数学意义的自我建构等；学生对数学学习的兴趣、自信心以及合作交流的意识与能力都得到了明显的增强。但本次教学观摩活动中也普遍存在一些问题，主要表现在如何看待和正确使用教材、如何正确处理好生活与数学的关系、如何增强学生活动的价值与效益等方面。下面就以上问题谈一点思考与建议. 1．应恰当使用好教材 在以“知识为中心”的传统教学观中，教材被奉为“圣经”，一切从教材出发，教学的过程就是忠实而完整的复述过程，“照本宣科”“咬文嚼字”,这就是所谓的“教教材”。“教”教材，考虑的出发点是传授，是强调如何把书本知识传递给学生，是以知识为本位的；而用教材“教”，立足点则是放在学习对象身上，注重教学行为与学习行为的同步相谐，注重知识传授中的能力培养。 用教材教，还是教教材，是彰显一名教师教育观念和教育行为是否与时俱进，是否具有实施新课程能力的主要标志。那么如何用好教材？ 1．1   理解教材——正确把握编者意图 用好教材，教师首先要“吃透教材”，钻研好教材，对教材进行深层次的理解和把握。教材上的内容体现了教材编写者对学生发展需要的一种理解，教师首先要弄清教材的安排意图。 考虑到小学课本中已从实际问题引入并定义了垂线，因此苏科版教科书遵循学生从感性到理性的认知规律，通过三个实例引导学生回顾并进一步明晰垂直的定义： （1）给出一幅斜拉桥的图片，提出“”图片中哪些线互相垂直？ （2）“说一说”——“教室内，哪些线互相垂直？” （3）“做一做”——“按图示方法折叠长方形纸片，量一量折痕与纸边所成的角度” 其中问题（1）（2）是对生活中“垂直”的直观感受，问题（3）则是引导学生从数学的角度进一步明晰垂直的定义。有的教师误将问题（3）直接理解为定义垂直的依据，或者将此作为垂直概念的应用，这些都有悖于编者原有的意图，甚至造成科学性的错误。 1．2  活化教材——学习内容的问题化 问题是数学的心脏，是学生产生学习愿望与兴趣、思考的源泉。新的实验教科书的编写者已经关注到了教材的呈现方式，注意到了适合学生的思维发展过程的问题情境、问题串以及引发学生思考的活动材料，然而与面对活生生的个体学生的课堂教学来说，教科书有其天然的局限性——固定的、统一的。教材如同一幅凝固着的美丽的画卷，而课堂教学应该是流淌着的河，它是灵动的并不断生成着的。 例如，为引入垂直性质，某教师设计了如下的一串问题，引导学生进行观察、实验、操作、思考，逐步形成对垂直性质的认识： （1）您能用直角三角板画出一直直线的垂线吗？这样的垂线能画多少条？ （2）经过直线外一点，您能用直角三角板画出已知直线的垂线吗？这样的垂线能画多少条？ （3）经过直线上一点，您能用直角三角板画出已知直线的垂线吗？这样的垂线能画多少条？ （4）如果身边没有直角三角板，你还能利用其他工具或材料过一点画已知直线的垂线吗？ 优秀的案例都是从适当的问题情境开始，围绕主题，在学生的思考与活动中不断生成的新问题，使学生在思维的跌宕起伏中获得体验、激发思考、理解知识、发展思维和能力。 因此，教师必须在正确理解和把握教材的基础上，组织好引导学生学习的问题及活动材料，根据学生思维的发展特点，围绕核心目标进行教学设计，让教材成为学生学习活动鲜活的材料。 1．3  超越教材——创造性地使用教材 何谓“教材”？教材即教学的材料，是指教学活动中所利用的一切素材和手段。数学教材不是惟一的数学工具，这一观念是新的数学课程观的重要内容。教材不再神圣，教师应该积极主动地去选择和增添教学资源，创造性地使用教材。 在《垂直》一节中，教材通过学生画图的过程体会“平面内，与已知直线垂直的直线有无数条；过一点有且只有一条直线与一直直线垂直”等结论，有的教师对此进行了有效的改造，通过一系列的折纸活动，一气呵成，使课堂教学达到了更好的效果与效益： （1）折一折：请你试着在一张不规则的纸上折出两条互相垂直的折痕. （学生动手折纸，再由一位学生展示折纸过程,最后电脑展示折纸的动画效果.） 思考：你能不通过测量说说你所得到的两条折痕是互相垂直的吗？ （2）试一试： 先折出一条折痕，第二条折痕必须满足两个条件：一是要经过你任意选取的一个点，二是还得与第一条折痕垂直，你能完成吗？ （请两位学生利用实物投影展示各自的选点和折纸的过程.） （3）画一画：你能经过一点画出已知直线的垂线吗？请在画图纸上完成. （让学生在透明的画图纸上画图后，先让一位学生在黑板上演示自己的画图过程，再由电脑演示正确的画法.）交流同学的结果，你发现了什么？ 一名优秀的教师，应该在用实、用好教材的基础上超越教材，“信奉而不唯是”，“遵循而有所立”，创造性地使用好教材。有人曾经这样谈论教学：“教学倘是真正创造性的、探究性的，那么，它就会达到艺术般的高度，给人以艺术般的魅力。并且，惟有藉助这种教学，学生也罢，教师也罢，才会满足、才会成长、才会获得自我变革。”因此，教学本身就是一项创造性的工作。对教材的超越是教学创新的必然要求。 2．应恰当使用好生活情境 建构主义认为，“学习总是发生在情境之中，而情境则与镶嵌在其中的知识形成了不可分割的联系。”真实的情境才能相应地形成真实的问题，进而发展学生解决真实问题的意识和能力。 本节课几乎所有的执教者都普遍关注体现数学与生活的联系，在垂直概念、垂线的性质、点到直线的距离等概念的形成过程中，都设计了与学生生活密切相关的实际问题。如跳远问题、过街道的斑马线问题。但如果情境用得不当，容易产生常识性甚至科学性的错误。 例如，一位教师在引入垂直概念时，借助于手中成相交状态的两条小木棍，随着其相互位置变化说：观察这两条直线，其中一条直线旋转时，什么发生了变化？尽管我们可以将小木棍看成是一条直线，但绝不能将此等同于直线。如果教师在演示的过程时，指出“如果将这两条小木棍看作两条直线……”，那么就可以自然地将实际问题转化为数学问题了。 又如，有的教师设计了这样一个问题：某公园里两条相交的道路，从一条路上某处（非交叉口）“抄近路”到达另一条路，怎样走最近？这样的情境不太恰当，甚至于违背社会公德。但如果将此改为公园管理部门想“设计”一条这样的小路，那么就可以自然回避这些问题，又符合设计的意图。 生活中的许多“垂直”属于空间垂直，而非线线垂直问题，使用不当也可能产生科学性问题。如“跳水问题”中运动员的身体与水面属于线面垂直关系等。 生活情境可影响学生学习的动机、需要、认知准备和情感，影响学生对数学学习的理解、态度、方法等，教师在选择生活问题情境时需要多加斟酌，选择那些贴近学生生活、真实的、突现学习主题的生活情境，并设计恰当的“设问”，使用好这些材料，才能真正发挥情境在教学过程中的积极作用。 3．  应追求有思维价值的数学活动 数学教学是数学活动的过程的观点已经被广大的教师认同。本节课老师们都设计了丰富的数学活动材料组织引导学生进行数学学习，如测量折痕的度数、用一张纸折出互相垂直的两条折痕、测量并比较直线上若干个点到某定点的距离的大小等；还设计了提供给学生进行观察思考的活动材料，如观察一幅城市道路交通图片中成“直角”的道路等。结合这些活动内容，教师设计了一系列问题，使学生在操作、观察、实验等活动中进行思考，在经历数学思考的过程中获得数学知识，体验探索、发现的乐趣。 但并不是活动越多越好，过度追求形式上的活动会导致低效甚至无效的数学学习，这不仅不能用以发展学生的思维，还无端的浪费学生宝贵的学习时间。笔者认为，设计有效的数学活动应关注以下几个问题：（1）是否需要组织学生活动（必要性）；（2）活动的目标是否明确（目的性）；（3）是否能真正地活动起来（可操作性）；（3）是否真正地引发学生的思维活动（有效性）。活动的形式应该根据内容与实效来确定，可以是实验观察、动手操作、展示交流等不同形式或多种形式的结合。 在设计数学活动时，在关注其内容，还应精心设计其呈现方式和设问方式。如某位教师在引入垂直概念时设计的这样的折纸活动：将长方形纸片折叠两次，使折出的两条折痕互相垂直。同桌的两人共同探讨有哪些不同的折叠方法？最后这一问，将学生活动的目标引向了追求“不同的折叠方法”，失去了活动本身的意义。