等比数列

等比数列教学目标 　　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.　　（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；　　（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；　　（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.　　2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.　　3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度. 教学建议 教材分析　　（1）知识结构　　等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.　　（2）重点、难点分析　　教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.　　①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.　　②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.　　③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议　　（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.　　（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.　　（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.　　（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.　　（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.　　（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.   教学设计示例 课题：等比数列的概念 教学目标 　　1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式. 　　2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力. 　　3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度. 教学重点，难点 　　重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导. 教学用具 　　投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 　　讨论、谈话法. 教学过程（www.ttzyw.com） 一、提出问题 给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片） 　　①－2，1，4，7，10，13，16，19，… 　　②8，16，32，64，128，256，… 　　③1，1，1，1，1，1，1，… 　　④243，81，27，9，3，1， ， ，… 　　⑤31，29，27，25，23，21，19，… 　　⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，… 　　⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，… 　　⑧0，0，0，0，0，0，0，… 　　由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）. 二、讲解新课 　　请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步） 等比数列（板书） 　　1.等比数列的定义（板书） 　　根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语. 　　请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识： 　　2.对定义的认识（板书） 　　（1）等比数列的首项不为0； 　　（2）等比数列的每一项都不为0，即 ； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 　　（3）公比不为0. 　　用数学式子表示等比数列的定义. 　　 是等比数列 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列 ？为什么不能？ 　　式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式. 　　3.等比数列的通项公式（板书） 　　问题：用 和 表示第 项 . 　　①不完全归纳法 　　 . 　　②叠乘法 　　 ，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 . （板书）（1）等比数列的通项公式 　　得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式. （板书）（2）对公式的认识 　　由学生来说，最后归结： 　　①函数观点； 　　②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）. 　　这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练） 　　如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题. 三、小结 　　1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式； 　　2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比； 　　3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用. 四、作业（略） 五、板书设计 三.等比数列                                                    1.等比数列的定义 2.对定义的认识 3.等比数列的通项公式 （1）公式 （2）对公式的认识     探究活动 　　将一张很大的薄纸对折，对折30次后（如果可能的话）有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米. 参考答案： 　　30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗？第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧（用对数算也行）.