指数

指数教学目标 　　1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．　　(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．　　(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．　　(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．　　2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．　　3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质． 教学建议 教材分析 　　（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念． 　　（2）由于分数指数幂的概念是借助  次方根给出的，而  次根式，  次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且  次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点． 　　（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入． 教法建议 　　（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点： 　　①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点． 　　②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出 即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成 ，写成 即谁的 次方等于 ，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出． 　　（2）在 次方根的定义中并没有将 次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对 次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．   教学设计示例 课题     根式 教学目标： 　　1．理解 次方根和 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算． 　　2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力． 　　3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想． 教学重点难点： 　　重点是 次方根的概念及其取值规律． 　　难点是 次方根的概念及其运算根据的研究． 教学用具：投影仪 教学方法：启发探索式． 教学过程（www.ttzyw.com）： 一.    复习引入 　　今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展． 　　下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗? 　　以 为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数， 称为幂． 　　教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义． ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念 2．5指数(板书) 　　1.       关于整数指数幂的复习 　　(1)    概念 　　既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：  　　(2)    运算性质： ; ; ． 　　复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起． 　　2.       根式(板书) 　　我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起． 　　如 　　如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即 ，求? 　　问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根． 　　再如 　　知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根． 　　(根据情况教师可再适当举几个例子，如 ，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为 和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根) 　　在以上几个式子会解释的基础上，提出 即一个数的 次方等于 ，求这个数，即开 次方，那么这个数叫做 的 次方根． 　　(1) 次方根的定义：如果一个数的 次方等于 ( ，那么这个数叫做 的 次方根．    (板书) 　　对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看． 　　由学生翻译为：若 ( ，则 叫做 的 次方根．(把它补在定义的后面) 　　翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的 的 次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究． 　　(2) 的 次方根的取值规律： (板书) 　　先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的，所以应对 分奇偶情况讨论 　　当 为奇数时，再问学生 的 次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对 的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按 的正负分为三种情况． 　　Ⅰ当 为奇数时 　　 ， 的 次方根为一个正数; 　　 ， 的 次方根为一个负数; 　　 ， 的 次方根为零．      (板书) 　　当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论，再由学生总结归纳 　　Ⅱ当 为偶数时 　　 ， 的 次方根为两个互为相反数的数; 　　 ， 的 次方根不存在; 　　 ， 的 次方根为零． 　　对于这个规律的总结，还可以先看 的正负，再分 的奇偶，换个角度加深理解． 　　有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述 次方根了． 　　(3)    的 次方根的符号表示 (板书) 　　可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当 为奇数时，由于无论 为何值， 次方根都只有一个值，可用统一的符号 表示，此时要求学生解释符号的含义： 为正数，则 为一个确定的正数， 为负数， 则 为一个确定的负数， 为零，则 为零． 　　当 为偶数时， 为正数时，有两个值，而 只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成 ，其含义为 为偶数时，正数的 次方根有两个分别为 和 ． 　　为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题： 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结 ．对于符号 ，当 为偶数是，它有意义的条件是 ;当 为奇数时，它有意义的条件时 ． 　　把 称为根式，其中 为根指数， 叫做被开方数．(板书) 　　(4)    根式运算的依据 (板书) 　　由于 是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据． 　　如 应该得什么?有学生讲出理由，根据 次方根的定义，可得Ⅰ = ．(板书) 　　再问： 应该得什么?也得 吗? 　　若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关，从而得到Ⅱ = ．(板书) 　　为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下． 三．巩固练习 　　例1. 求值 　　(1) ．      (2) ．     　　(3) ．   (4) ． 　　(5) ．( 　　要求学生口答，并说出简要步骤． 四．小结 　　1． 次方根与 次根式的概念 　　2．二者的区别 　　3．运算依据 五．作业  略 六．板书设计 2．5指数                (2)取值规律          (4)运算依据 1.     复习 2.     根式               (3)符号表示           例1 (1)定义