几种不同增长的函数模型（两课时）

几种不同增长的函数模型（两课时） 一、教学目的 1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； 2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义； 3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题； 4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。 二、教学重点、难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。 三、教学过程 第一课时 1、复习引入 师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？ 生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；…… 师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。 2、新课 （用幻灯片展示例题） 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 1）每天回报40元； 2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论） 教师提示： 1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。 2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？ 教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。 设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。 利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。 通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。 由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。 设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？ 3）、（幻灯片展示例题2） 设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？ 教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。 让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。 教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。 3、小结： 一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+∞）上，尽管指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xa(a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a>0)，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax