第四章-三角函数

第四章-三角函数 考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”． §04. 三角函数  知识要点 1. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）： ②终边在x轴上的角的集合：   ③终边在y轴上的角的集合： ④终边在坐标轴上的角的集合：   ⑤终边在y=x轴上的角的集合：   ⑥终边在 轴上的角的集合： ⑦若角 与角 的终边关于x轴对称，则角 与角 的关系： ⑧若角 与角 的终边关于y轴对称，则角 与角 的关系： ⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： ⑩角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2  180°=  1°=0.01745  1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式：  1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ．     1°＝ ≈0.01745（rad） 3、弧长公式： .       扇形面积公式： 4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则  ；  ；  ；  ；  ；. . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）  6、三角函数线    正弦线：MP;   余弦线：OM;    正切线： AT.  7. 三角函数的定义域： 三角函数                  定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx 8、同角三角函数的基本关系式：                9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”  三角函数的公式：（一）基本关系                                              公式组二                  公式组三                                                      公式组四               公式组五               公式组六                                         （二）角与角之间的互换    公式组一                                  公式组二                                            公式组三                    公式组四                                    公式组五                 , , , .      10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：   （A、 ＞0） 定义域 R R R 值域 R R 周期性   奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶 当 奇函数            单调性 上为增函数； 上为减函数（ ） ；上为增函数 上为减函数 （ ）   上为增函数（ ） 上为减函数（ ） 上为增函数； 上为减函数（ ） 注意：① 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相反.一般地，若 在 上递增（减），则 在 上递减（增）. ② 与 的周期是 . ③ 或 （ ）的周期 . 的周期为2 （ ，如图，翻折无效）. ④ 的对称轴方程是 （ ），对称中心（ ）； 的对称轴方程是 （ ），对称中心（ ）； 的对称中心（ ）. ⑤当 · ； · . ⑥ 与 是同一函数,而 是偶函数，则 . ⑦函数 在 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， 为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数： ） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此性质） ⑨ 不是周期函数； 为周期函数（ ）； 是周期函数（如图）； 为周期函数（ ）； 的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . ⑩  有 . 11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期 ，频率 ，相位 初相 （即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y） 由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的 倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y） 由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y＝sinx， 的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是 ． 函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y＝tanx， 的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是 ． 函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．  II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：⑴反正弦函数 是奇函数，故 ， （一定要注明定义域，若 ，没有 与 一一对应，故 无反函数） 注： ， ， . ⑵反余弦函数 非奇非偶，但有 ， . 注：① ， ， . ② 是偶函数， 非奇非偶，而 和 为奇函数. ⑶反正切函数： ，定义域 ，值域（ ）， 是奇函数， ， . 注： ， . ⑷反余切函数： ，定义域 ，值域（ ）， 是非奇非偶. ， . 注：① ， . ② 与 互为奇函数， 同理为奇而 与 非奇非偶但满足 .  ⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： 的取值范围   解集                              的取值范围   解集 ① 的解集                               ② 的解集 ＞1                                         ＞1            =1                   =1   ＜1             ＜1  ③ 的解集：     ③ 的解集：    二、三角恒等式. 组一  组二 组三 三角函数不等式 ＜ ＜             在 上是减函数 若 ，则