§2 对函数的进一步认识
2．1 函数概念
整体设计
教学分析
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关
系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从
实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．
三维目标
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 y＝f(x)的含义；通过学习函数
的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括
能力；启发学生运用函数模型表述 思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出
问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．
2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概
念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性．
重点难点
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一
地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整，万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升
空，5 天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟六号”飞行期间，我们时刻关注“神舟
六号”离我们的距离 y 随时 间 t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和
研究．引出课题．
思路 2.问题：已知函数 y＝
1，x∈∁RQ，
0，x∈∁RQ，
请用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的函
数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引
出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
1 给出下列三种对应： 幻灯片
①一枚炮弹发射后，经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m，且炮弹距地面
的高度 h 单位：m 随时间 t 单位：s 变化的规律是 h＝130t－5t2.
时间 t 的变化范围是数集 A＝{t|0≤t≤26}，h 的变化范围是数集 B＝{h|0≤h≤845}，
则有对应 f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.
②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．图 1 中的曲线显示了
南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位：106 km2)随时间 t(单位：年)从 1979—2001 年的变化情
况．图 1
根据图 1 中的曲线可知时间 t 的变化范围是数集 A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞
面积 S 的变化范围是数集 B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：
f：t→S，t∈A，S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质
量越高．下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城
镇居民的生活质量发生了显著变化．
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间
t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格
尔系
数 y
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
根据上表，可知时间 t 的变化范围是数集 A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数 y 的变
化范围是数集 B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.
以上三个对应有什么共同特点？
(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义．
(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？
(4)函数有意义指什么？
(5)函数 f：A→B 的值域为 C，那么集合 B＝C 吗？
活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本
质共性．
讨论结果：(1)共同特点是：集合 A、B 都是数集，并且对于数集 A 中的每一个元素 x，
在对应关系 f：A→B 下，在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应．
(2)一般地，设 A，B 都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A
中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集
合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A，其中 x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作函
数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．
在研究函数时常会用到区间的概念，设 a，b 是两个实数，且 a＜b，如下表所示：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．
(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为 0，被开方数为非负数，如果函数有实
际意义时，那么还要满足实际取值，等等．
(5)C B.
应用示例
思路 1
例 1 某山海拔 7 500 m，海平面温度为 25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高
100 m，气温下降 0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温 T 随高度 x 变化的函数关系，并指
出函数的定义域和值域．
活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数
的定义域和值域．解：当高出海平面 x m 时，温度下降了 x
100
×0.6(℃)，
则函数解析式为
T(x)＝25－0.6x
100
＝25－ 3
500
x.
函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．
点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力．
例 2 已知函数 f(x)＝ x＋3＋ 1
x＋2
，
(1)求函数的定义域；
(2)求 f(－3)，f
2
3 的值；
(3)当 a＞0 时，求 f(a)，f(a－1)的值．
活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变
量的取值范围，故转化为求使 x＋3和 1
x＋2
有意义的自变量的取值范围； x＋3有意义，则
x＋3≥0， 1
x＋2
有意义，则 x＋2≠0，转化为解由 x＋3≥0 和 x＋2≠0 组成的不等式组．
(2)让学生回想 f(－3)，f
2
3 表示什么含义？f(－3)表示自变量 x＝－3 时对应的函数
值，f
2
3 表示自变量 x＝2
3
时对应的函数值．分别将－3，2
3
代入函数的对应法则中得 f(－3)，
f
2
3 的值．
(3)f(a)表示自变量 x＝a 时对应的函数值，f(a－1)表示自变量 x＝a－1 时对应的函数
值．分别将 a，a－1 代入函数的对应法则中得 f(a)，f(a－1)的值．
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值需满足
x＋3≥0，
x＋2≠0.
解得－3≤x＜－2 或 x
＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝ －3＋3＋ 1
－3＋2
＝－1；
f
2
3 ＝ 2
3
＋3＋
1
2
3
＋2
＝3
8
＋ 33
3
.
(3)∵a＞0，
∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，
即 f(a)，f(a－1)有意义．
则 f(a)＝ a＋3＋ 1
a＋2
；
f(a－1)＝ a－1＋3＋ 1
a－1＋2
＝ a＋2＋ 1
a＋1
.
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解．求使函数有意义的自变量
的取值范围，通常转化为解不等式组．
f(x)是表示关于变量 x 的函数，又可以表示自变量 x 对应的函数值，是一个整体符号，
分开符号 f(x)没有什么意义．符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如 f(x)
＝x2－x＋5，当 x＝2 时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去 2，再加上 5；
当 x 为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5 等．
符号 y＝f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示 y 等于 f 与 x
的乘积；符号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系，当 m 是变量时，函数 f(x)与函数 f(m)是同一
个函数；当 m 是常数时，f(m)表示自变量 x＝m 对应的函数值，是一个常量．
已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范
围，即：
(1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R.
(2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的
集合．
(4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有
意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练
1．求函数 y＝ x＋1 2
x＋1
－ 1－x的定义域．
答案：{x|x≤1，且 x≠－1}．
点评：本题容易错解：化简函数的解析式为 y＝x＋1－ 1－x，得函数的定义域为
{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析
式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．
2．若 f(x)＝ 1
x
的定义域为 M，g(x)＝|x|的定义域为 N，令全集 U＝R，则 M∩N 等于
( )．
A．M B．N
C． UM D． UN
分析：由题意得 M＝{x|x＞0}，N＝R，则 M∩N＝{x|x＞0}＝M.
答案：A
3．已知函数 f(x)的定义域是[－1,1]，则函数 f(2x－1)的定义域是________．
分析：要使函数 f(2x－1)有意义，自变量 x 的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.
答案：[0,1]
思路 2
例 1 已知函数 f(x)＝ x2
1＋x2，那么 f(1)＋f(2)＋f
1
2 ＋f(3)＋f
1
3 ＋f(4)＋f
1
4 ＝
________.
活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨 f(a)＋f
1
a 的值．
解法一：原式＝ 12
1＋12＋ 22
1＋22＋
1
2 2
1＋
1
2 2
＋ 32
1＋32＋
1
3 2
1＋
1
3 2
＋ 42
1＋42＋
1
4 2
1＋
1
4 2
＝1
2
＋4
5
＋1
5
＋ 9
10
＋ 1
10
＋16
17
＋ 1
17
＝7
2
.
解法二：由题意得 f(x)＋f
1
x ＝ x2
1＋x2＋
1
x 2
1＋
1
x 2
＝ x2
1＋x2＋ 1
1＋x2＝1.则原式＝1
2
＋1＋1＋1＝7
2
.
点评：本题主要考查对函数符号 f(x)的理解．对于符号 f(x)，当 x 是一个具体的数值
时，相应地 f(x)也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代
数式中含有 f(x)＋f
1
x ，故先探讨 f(x)＋f
1
x 的值，从而使问题简单地获解．求含有多个
函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律
再求解．
受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪
费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.
变式训练
1．已知 a，b∈N＋，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则f 2
f 1
＋f 3
f 2
＋…＋f 2 007
f 2 006
＝________.
分析：令 a＝x，b＝1(x∈N＋)，
则有 f(x＋1)＝f(x)f(1)＝2f(x)，
即有f x＋1
f x
＝2(x∈N＋)．
所以，原式＝ ＝4 012.
答案：4 012
2．设函数 f(n)＝k(k∈N＋)，k 是π的小数点后的第 n 位数字，π＝3.141 592 653 5…，
则 等于________．
分析：由题意得 f(10)＝5，f(5)＝9，f(9)＝3，f(3)＝1，f(1)＝1，…，则有
＝1.
答案：1
例 2 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，函数 f：A→B 满足 f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，
则这样的函数 f(x)有( )．
A．4 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数．定义域和值域确定后，不同的对应法
则就是不同的函数，因此对 f(a)，f(b)，f(c)的值分类讨论，注意要满足 f(a)＋f(b)＋f(c)
＝0.
解：当 f(a)＝－1 时，
则 f(b)＝0，f(c)＝1 或 f(b)＝1，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有 2 个；
当 f(a)＝0 时，
则 f(b)＝－1，f(c)＝1 或 f(b)＝1，f(c)＝－1 或 f(b)＝0，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有 3 个；
当 f(a)＝1 时，
则 f(b)＝0，f(c)＝－1 或 f(b)＝－1，f(c)＝0，
即此时满足条件的函数有 2 个．
综上所得，满足条件的函数共有 2＋3＋2＝7(个)．
故选 C.
点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.
变式训练
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函
数”．那么解析式为 y＝x2，值域是{1,4}的“同族函数”共有( )．
A．9 个 B．8 个C．5 个 D．4 个
分析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定义域
中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2的实数．
令 x2＝1，得 x＝±1；令 x2＝4，得 x＝±2.
所有“同族函数”的定义域分别是{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，
{1，－1，－2}，{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1，－2,2}，则“同族函数”共有 9
个．
答案：A
知能训练
1 ． 已 知 函 数 f(x) 满 足 ： f(p ＋ q) ＝ f(p)f(q) ， f(1) ＝ 3 ， 则 f2 1 ＋f 2
f 1
＋
f2 2 ＋f 4
f 3
＋f2 3 ＋f 6
f 5
＋f2 4 ＋f 8
f 7
＋f2 5 ＋f 10
f 9
＝________.
分析：∵f(p＋q)＝f(p)f(q)，
∴f(x＋x)＝f(x)f(x)，即 f2(x)＝f(2x)．
令 q＝1，得 f(p＋1)＝f(p)f(1)，
∴f p＋1
f p
＝f(1)＝3.
∴原式＝2f 2
f 1
＋2f 4
f 3
＋2f 6
f 5
＋2f 8
f 7
＋2f 10
f 9
＝2(3＋3＋3＋3＋3)
＝30.
答案：30
2．若 f(x)＝1
x
的定义域为 A，g(x)＝f(x＋1)－f(x)的定义域为 B，那么( )．
A．A∪B＝B B．A B
C．A B D．A∩B＝
分析：由题意得 A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且 x≠－1}．
则 A∪B＝A，则 A 错；
A∩B＝B，则 D 错；
由于 B A，则 C 错，
B 正确．
答案：B
拓展提升
问题：已知函数 f(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)分别计算 f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
活动：让学生探求 f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用
解析式证明．
解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意 x∈R，有 f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意得 f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
∴对任意 x∈R，总有 f(x)＝f(－x)．
课堂小结
本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解．
作业
练习 1、2.
设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技
术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数
定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点
内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高
考的需要．
(设计者：高建勇)
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