§3 函数的单调性
教学分析
在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
三维目标
1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质．
2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．
3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．
重点难点
教学重点：函数的单调性．
教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．
课时安排
1课时
导入新课
德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8～9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像)
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示．
图1
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．
推进新课
①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？
图2
②函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？
③如何理解图像是上升的？
④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图像在y轴右侧上升．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
f(x)＝x2
…
…
⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数．谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？
⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？
⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f(x)在区间D上的图像有什么变化趋势？
讨论结果：①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
②函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．
③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．
④在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)．这样可以体会用数学符号来刻画图像上升．
⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．
⑥可以．增函数的定义：由于当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，即都是相同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致．因此我们可以简称为：步调一致增函数．
⑦函数值随着自变量的增大而增大．
⑧从左向右看，图像是上升的．
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．简称为：步调不一致减函数．减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的．函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小．总结：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的单调递增(或减)区间．
⑩函数y＝f(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的．
思路1
例1 说出函数f(x)＝的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间．
解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝是减少的．
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性．图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性．函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性．
图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间．
变式训练
图3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数．
解：函数y＝f(x)的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中函数y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.
例2 画出函数f(x)＝3x＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明．
活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤．
图4
解：作出f(x)＝3x＋2的图像(如图4)．由图看出函数的图像在R上是上升的，函数是R上的增函数．
下面进行证明：
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0.
所以f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义，可知函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数．
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；第二步，比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”，因此简称为“去比赛”．
变式训练
1．证明函数y＝在区间[2,6]上是单调递减的．
证明：设x1、x2是区间[2,6]上任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
由2≤x1＜x2≤6，所以x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.
所以＞0.
于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数y＝在区间[2,6]上是单调递减的．
2．画出函数y＝－2x＋1的图像，判断它的单调性，并加以证明．
解：作出函数y＝－2x＋1的图像(如图5)．
由图5可以看出函数y＝－2x＋1的图像在R上是下降的，即函数是R上的减函数．
图5
证明：设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－2x1＋1)－(－2x2＋1)＝－2(x1－x2)，
因为x1＜x2，
所以x1－x2＜0，－2(x1－x2)＞0.
于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数y＝－2x＋1在R上是减函数.
思路2
例1 (1)画出已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像；
(2)证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；
(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像如图6所示．
图6
(2)设x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1＋3)－(－x＋2x2＋3)
＝(x－x)＋2(x1－x2)
＝(x1－x2)(2－x1－x2)．
∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.
∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．
(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．
点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内．
判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图像来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．
函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型．
变式训练
已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)＝f(x)－f(a－x)．
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
(2)证明函数y＝F(x)的图像关于点成中心对称图形．
活动：(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2)证明函数y＝F(x)的图像上的任意点关于点的对称点还是在函数y＝F(x)的图像上即可．
解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2.则
F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(a－x1)]－[f(x2)－f(a－x2)]
＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]．
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1＜x2，∴a－x2＜a－x1.
∴f(x1)＜f(x2)，f(a－x2)＜f(a－x1)．
∴[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]＜0.
∴F(x1)＜F(x2)．
∴F(x)是R上的增函数．
(2)设点M(x0，F(x0))是函数F(x)图像上任意一点，则点M(x0，F(x0))关于点
的对称点M′(a－x0，－F(x0))．
又∵F(a－x0)＝f(a－x0)－f(a－(a－x0))
＝f(a－x0)－f(x0)＝－[f(x0)－f(a－x0)]
＝－F(x0)，
∴点M′(a－x0，－F(x0))也在函数F(x)图像上，
又∵点M(x0，F(x0))是函数F(x)图像上任意一点，
∴函数y＝F(x)的图像关于点成中心对称图形.
例2 (1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图像如图7所示，请补全函数y＝f(x)的图像，并写出其单调区间，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？
图7
(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明．
活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示：
(1)画出二次函数y＝x2－2x的图像，借助于图像解决；(2)类似于(1)；(3)根据轴对称的含义补全函数的图像，也是借助于图像写出单调区间；(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．
解：(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)关于直线x＝1对称，而单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)；对称轴是y轴即直线x＝0；区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)关于直线x＝0对称，而单调性相反．
(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图像如图8.
函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，而单调性相反，区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，而单调性相反．
图8
(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：
不妨设函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数，区间[a，b]关于直线x＝m的对称区间是[2m－b,2m－a]．
由于函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，则f(x)＝f(2m－x)．
设2m－b≤x1＜x2≤2m－a，则b≥2m－x1＞2m－x2≥a，
f(x1)－f(x2)＝f(2m－x1)－f(2m－x2)．
又∵函数y＝f(x)在[a，b]上是增函数，∴f(2m－x1)－f(2m－x2)＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2)．∴函数y＝f(x)在区间[2m－b,2m－a]上是减函数．
∴当函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数时，其在[a，b]关于直线x＝m的对称区间[2m－b,2m－a]上是减函数，即单调性相反．
因此有结论：如果函数y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．
点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图像类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图像也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力．
变式训练
函数y＝f(x)满足以下条件：
①定义域是R；②图像关于直线x＝1对称；③在区间[2，＋∞)上是增函数．试写出函数y＝f(x)的一个解析式f(x)＝__________(只需写出一个即可，不必考虑所有情况)．
活动：根据这三个条件，画出函数y＝f(x)的图像简图(只要能体现这三个条件即可)，再根据图像简图，联系猜想基本初等函数及其图像和已有的解题经验写出．
解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图像关于直线x＝1对称的函数解析式满足：f(x)＝f(2－x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图像，在区间[2，＋∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x＝1不在区间[2，＋∞)内，故函数的解析式可能是y＝a(x－1)2＋b(a＞0)．
结合二次函数的图像和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：
形如y＝a(x－1)2＋b(a＞0)，或为y＝a|x－1|＋b(a＞0)等都可以，答案不唯一.
1．利用图像法写出基本初等函数的单调性．
解：①正比例函数：y＝kx(k≠0)
当k＞0时，函数y＝kx在定义域R上是增函数；当k＜0时，函数y＝kx在定义域R上是减函数．
②反比例函数：y＝(k≠0)
当k＞0时，函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递增区间；当k＜0时，函数y＝的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递减区间．
③一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
当k＞0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是增函数；当k＜0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是减函数．
④二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是，单调递增区间是.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．
2．已知函数y＝kx＋2在R上是增函数，求实数k的取值范围．
答案：k∈(0，＋∞)．
3．二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的值．
答案：a＝2.
4．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f(2a2＋a＋1)＜f(3a2－4a＋1)成立，则a的取值范围是__________．
解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，∴解得a＜或a＞1.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴2a2＋a＋1＞3a2－4a＋1.∴a2－5a＜0.
∴0＜a＜5.∴0＜a＜或1＜a＜5，即a的取值范围是∪(1,5)．
答案：∪(1,5)
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．
问题：
1．画出函数y＝的图像，结合图像探讨下列说法是否正确．
(1)函数y＝是减函数；(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．对函数y＝，取x1＝－1＜x2＝2，则f(x1)＝－1＜f(x2)＝，满足当x1＜x2时f(x1)＜f(x2)，说函数y＝在定义域上是增函数对吗？为什么？
3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？
解答：1.(1)是错误的，从左向右看，函数y＝的图像不是下降的．
(2)是错误的，函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数y＝的图像，从左向右看不是下降的，因此这是错误的．
2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．
3．函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．
点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y＝f(x)在区间(a，b)和(b，c)上均是增(减)函数，那么在区间(a，b)∪(b，c)上的单调性不能确定．
本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图像法．
习题2—3 A组3、4、5.
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．
本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
判断下列说法是否正确：
①已知f(x)＝，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数．
②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．
③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
活动：教师强调以下三点后，让学生判断．
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数．
答案：这四个判断都是错误的．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可．也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行．
(设计者：张建国)
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