§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
教学分析
二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．
这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．
三维目标
理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．
重点难点
教学重点：二次函数图像的变换．
教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．
思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题．
推进新课
①请回顾二次函数的定义.
②二次函数的解析式有几种形式？
③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？
讨论结果
①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．
②有三种形式：
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．
③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．
①画出y＝x2的图像．并填写表1.
表1
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
…
2x2
…
…
②观察表2，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的几倍？这种情况是如何在图像上表现的？
③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？
④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？
讨论结果：
①如图1是y＝x2的图像，
图1
如表2为所填表格：
表2
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
②要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的2倍．这种情况表现在图像上如图2所示，就是把AB伸长为原来的2倍，即AC的长度，得到当x＝1时y＝2x2对应的值．
图2 图3
③将y＝x2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y＝2x2的图像．
④将y＝Af(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A(A＞1)倍或缩短为原来的A(0＜A＜1)倍得到y＝Af(x)的图像．
①在同一坐标系中画出y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，观察图像，如何由y＝2x2的图像得到y＝2(x＋1)2＋3的图像？
②如何由y＝ax2的图像得到y＝a(x＋h)2＋k(h≠0，k≠0)的图像？
③如何由y＝f(x)的图像得到y＝f(x＋h)＋k(h≠0，k≠0)的图像？
④由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像？
讨论结果：①y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，如图4.
图4
观察图4，得把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝2(x＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像．
②把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像．
③把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图像．
④一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像．
①二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数的图像有何影响？
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？
③写出一个开口向下，顶点为(－3，1)的二次函数的解析式，并画出其图像.
讨论结果：①h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．
②确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.
③例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图5所示，
图5
例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．
活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．
解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，
(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；
(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．
又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．
变式训练
1．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是( )．
A．x＝－2，(－2，－1) B．x＝2，(－2，－1)
C．x＝－1，(－1，－3) D．x＝1，(－2,3)
解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－3)．
答案：C
2．已知f(x)＝则f()等于( )．
A．2 B．2
C． D．无法确定
解析：∵∈[1,6]，∴f()＝.
答案：C
3．将函数y＝x2－2x的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．
A．y＝x2＋6x＋7 B．y＝x2－6x＋7
C．y＝x2＋2x－1 D．y＝x2－2x＋1
解析：所得解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－1＝x2－6x＋7.
答案：B
例2 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且x＋x＝，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？
分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．
解：由题意可设所求抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，展开，得y＝－3x2＋6x－3＋k，
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
得4－＝.
解得k＝.
所以该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，即y＝－3x2＋6x－.
点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论．
变式训练
如果把函数y＝ f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2)，则函数y＝ f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．
A．y＝f(x－1)＋2 B．y＝f(x－1)－2
C．y＝f(x＋1)＋2 D．y＝f(x＋1)－2
解析：点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q(2,2)，则将函数y＝ f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y＝ f(x－1)＋2的图像．
答案：A
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则( )．
A．a＝1，b＝－4，c＝－11 B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝11 D．a＝3，b＝－12，c＝11
解析：由题意得
∴
答案：D
2．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________，关于x的方程f(x)＝ x的解的个数为__________．
解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得b＝4，c＝2，画出函数y＝f(x)，y＝x的图像，它们的图像有3个交点，故关于x的方程f(x)＝ x有3个解．
答案：f(x)＝ 3
3．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)＝__________.
解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，因为过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
答案：6x2－12x＋4
问题：两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图像只可能是图6中的( )．
图6
解析：这是一道考查二次函数解析式中a，b，c的性质与函数图像特征的相关题目．由于f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，且－与－同号，即它们的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；又由C，D中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab＜0.于是－＞0，－＞0，即它们的对称轴都位于y轴右侧，排除C.
答案：D
本节学习了：
(1)二次函数的解析式及其求法．
(2)变换法画二次函数的图像．
习题2—4A组2、3、4.
本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识．
函数图像的变换
函数的变换，教材中给出的实际是函数的平移变换，而变换还可以有对称变换、放缩变换等．
所谓对称变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝g(－x)，那么它们的图像关于y轴对称，如果f(x)＝－g(x)，那么它们的图像关于x轴对称，如果f(x)＝－g(－x)，那么它们的图像关于原点O成中心对称，则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到．
所谓放缩变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝kg(x)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在y轴方向上扩大a倍，如果f(x)＝ g(kx)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在x轴方向上压缩a倍，则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到．
(设计者 张新军)
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