4.1 对数及其运算(2)
导入新课
思路1.上节课我们学习了以下内容:
1.对数的定义.
2.指数式与对数式的互化.
ab=NlogaN=b.
3.重要公式:
(1)负数与零没有对数;(2)loga1=0,logaa=1;(3)对数恒等式alogaN=N.
下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕
思路2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则.
am·an=am+n;am÷an=am-n;(am)n=amn;=.
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算,而且它们互为逆运算,对数是否也有和指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题.
推进新课
(1)在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?
(2)如我们知道am=M,an=N,am·an=am+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗?
(3)在上述(2)的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗?(4)你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述.
(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗?
(6)上述结论能否推广呢?
(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢?
讨论结果:(1)通过问题(2)来说明.
(2)如am·an=am+n,设M=am,N=an,于是MN=am+n,由对数的定义得到
M=amm=logaM,N=ann=logaN,
MN=am+nm+n=logaMN,
logaMN=logaM+logaN.
因此m+n可以用对数式表示.
(3)令M=am,N=an,则=am÷an=am-n,所以m-n=loga.
又由M=am,N=an,所以m=logaM,n=logaN.所以logaM-logaN=m-n=loga,
即loga=logaM-logaN.
设M=am,则Mn=(am)n=amn.由对数的定义,
所以logaM=m,logaMn=mn.
所以logaMn=mn=nlogaM,即logaMn=nlogaM.
这样我们得到对数的三个运算性质:
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则有
loga(MN)=logaM+logaN,①
loga=logaM-logaN,②
logaMn=nlogaM(n∈R).③
(4)以上三个性质可以归纳为:
性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和;
性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数;
性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数.
(5)利用对数运算性质进行运算,所以要求a>0,a≠1,M>0,N>0.
(6)性质①可以推广到n个数的情形:
即loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn(其中a>0,a≠1,M1M2M3…Mn均大于0).
(7)纵观这三个性质我们知道,
性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.
性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.
性质③从左往右仍然是降级运算.
利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算,大大的方便了对数式的化简和求值.
思路1
例1 用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga(x2yz);(2)loga;(3)loga.
活动:学生思考观察,教师巡视,检查学生解题情况,发现问题及时纠正.
利用对数的运算性质,把整体分解成部分.
对(1)可先利用性质1,转化为两数对数的和,再利用性质3,把幂的对数转化为两数对数的积.
对(2)(3)可先利用性质2,转化为两数对数的差,再利用性质1,把积的对数转化为两数对数的和,最后利用性质3,转化为幂指数与底数的对数的积.
解:(1)loga(x2yz)=logax2+logay+logaz=2logax+logay+logaz.
(2)loga=logax2-loga(yz)=2logax-logay-logaz.
(3)loga=loga-loga(y2z)=logax-2logay-logaz.
点评:对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.
变式训练
1.若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子正确的个数为( ).
①logax·logay=loga(x+y) ②logax-logay=loga(x-y)
③loga=logax÷logay ④loga(xy)=logax·logay
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
2.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列式子正确的个数为( ).
①(logax)n=nlogax ②(logax)n=logaxn ③logax=-loga
④=loga ⑤=logax ⑥logax=loga
⑦logaxn=nlogax ⑧loga=-loga
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
例2 计算:
(1)log3(92×35);(2).
活动:学生审题,回顾对数的运算性质和运算顺序,严格按性质和法则解题,注意运算结果的准确性.
解:(1)log3(92×35)=log392+log335=log334+5log33=4+5=9;
(2)lg =lg 102=×2=.
例3 计算:
(1)lg 14-2lg+lg 7-lg 18; (2); (3).
解:(1)解法一:lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
解法二:lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg 14-lg2+lg 7-lg 18=lg=lg 1=0.
(2)===.
(3)===.
点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;(2)题要避免错用对数运算性质.特别是对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.
例4 科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r=0.6lg I,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度.
解:设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2,由题意,得
因此0.6(lg I2-lg I1)=0.9,
即lg=1.5.
所以=101.5≈32.
因此,7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍.
思路2
例1 求下列各式的值.
(1)log525;(2)log0.41;(3)log2(47×25);(4)lg.
解法一:(1)log525=log552=2;
(2)log0.41=0;
(3)log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19;
(4)lg=lg 102=lg 10=.
解法二:(1)设log525=x,则5x=25=52,所以x=2;
(2)设log0.41=x,则0.4x=1=0.40,所以x=0;
(3)log2(47×25)=log2(214×25)=log2219=19,
或log2(47×25)=log247+log225=7log222+log225=2×7+5=19;
(4)设lg=x,则10x==,所以x=.
点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式.
例2 计算:(1)2log510+log50.25;(2)2log525+3log264;(3)log2(log216).
解:(1)因为2log510=log5102=log5100,所以2log510+log50.25=log5100+log50.25=log5(100×0.25)=log552=2log55=2;
(2)因为2log525=2log552=4log55=4,3log264=3log226=18log22=18,
所以2log525+3log264=22;
(3)因为log216=log224=4,所以log2(log216)=log24=log222=2.
点评:要注意灵活运用对数的运算性质,特别是公式的逆用.
例3 计算下列各式的值:
(1)lg-lg+lg;(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2;
(3).
活动:学生思考、交流,观察题目特点,教师可以提示引导:将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积;再就是逆用对数的运算性质.先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算.再就是逆用对数的运算性质,把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算.
(1)解法一:lg-lg+lg=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)
=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5
=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
解法二:lg-lg+lg=lg-+lg 7
=lg=lg(×)=lg=.
(2)解法一:lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 2+lg 5)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
解法二:lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(1-lg 5)2
=2lg 10+lg 5[2(1-lg 5)+lg 5]+(1-lg 5)2=2+lg 5(2-lg 5)+(1-lg 5)2
=2+2lg 5-(lg 5)2+1-2lg 5+(lg 5)2=3.
(3)解法一:=
===.
解法二:=
===.
点评:这类问题一般有以下几种处理方法:一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂,然后化简求值;三是上述两种方法灵活运用,化简求值.
例4 已知a,b,c均为正数,3a=4b=6c,求证:+=.
活动:学生思考观察,教师引导,及时评价学生的思考过程.从求证的结论看,解题的关键是设法把a,b,c从连等号式中分离出来,为便于找出a,b,c的关系,不妨设3a=4b=6c=k(k>0),则a,b,c就可用这一变量k表示出来,再结合对数的运算性质就可证得结论.
证法一:设3a=4b=6c=k,则k>0.由对数的定义得a=log3k,b=log4k,c=log6k,
则左边=+=+=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36,
右边===2logk6=logk36,所以+=.
证法二:对3a=4b=6c同时两边取常用对数得lg 3a=lg 4b=lg 6c,alg 3=blg 4=clg 6.
所以==log63,==log64.又+=log6(9×4)=2,所以+=.
点评:本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质.灵活运用指数、对数的概念及性质解题,适时转化.
1.用logax,logay,logaz,loga(x+y),loga(x-y)表示下列各式:
(1)loga;(2)loga;(3)loga();(4)loga;
(5)loga;(6)loga3.
解:(1)loga=loga-logay2z=logax-(2logay+logaz)
=logax-2logay-logaz;
(2)loga=logax+loga=logax+(logaz3-logay2)
=logax-logay+logaz=logax-logay+logaz;
(3)loga()=logax+logay+=logax+logay-logaz;
(4)loga=logaxy-loga(x2-y2)=logax+logay-loga(x+y)(x-y)
=logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y);
(5)loga=loga+logay=loga(x+y)-loga(x-y)+logay;
(6)loga[]3=3[logay-logax-loga(x-y)]=3logay-3logax-3loga(x-y).
2.已知f(x6)=log2x,则f(8)等于( ).
A. B.8 C.18 D.
分析:因为f(x6)=log2x,x>0,令x6=8,得x==,所以f(8)==.
解析:因为f(x6)=log2x=log2x6,所以f(x)=log2x.
所以f(8)=log28=log223=.
答案:D
已知x,y,z>0,且lg x+lg y+lg z=0,求··的值.
活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由于所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为t.
解:令··=t,则
lg t=lg x+lg y+lg z
=+++++=++
=++=-3,
所以t=10-3=即为所求.
1.对数的运算法则.
2.对数的运算法则的综合应用,特别是公式的逆向使用.
3.对数与指数形式比较:
式子
ab=N
logaN=b
名称
a——幂的底数
b——幂的指数
N——幂值
a——对数的底数
b——以a为底的N的对数
N——真数
运算性质
am·an=am+n;
am÷an=am-n;
(am)n=amn
(a>0,a≠1,m、n∈R)
loga(MN)=logaM+logaN;
loga=logaM-logaN;
logaMn=nlogaM(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
习题3—4 A组6,7,8.
在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算法则,推出了对数的运算法则,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆,强化法则的使用条件,注意对数式中每一个字母的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练习的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.
(设计者:卢岩冰)